Pi en un día de lluvia

Vale vale, esta entrada nada tiene que ver con la peli La Vida de Pi,  pero hoy es el día Pi o 3-14, pues coinciden con las primeras cifras del famoso número conocido desde la antigüedad, que dicta, entre otras, la razón entre el perímetro, p, y el diámetro, d, de cualquier círculo,

,

 

así que ¡hay que celebrar!

Hoy quiero compartirles un sencillo método para matar el aburrimiento, o tal vez para incrementar la tensión, que se vive en un día lluvioso descubriendo de manera empírica.

La idea se basa en el hecho que este estupendo número también dicta la razón entre el área del un disco, , y su diámetro al cuadrado

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Con esto en mente procedamos:

Todo lo que necesitas es un par de vasos idénticos, acetatos, tijeras, cortador, algo para medir volúmenes de agua y calculadora, aunque si no te da pereza puedes prescindir de la calculadora, ah y claro un día lluvioso.

Lista de materiales para nuestro experimento

Vamos dibujar en el acetato dos cuadrados de tamaño ligeramente inferior a la boca de los vasos,  y recortamos las porciones donde quedaron los cuadrados de modo que estas cubran completamente la boca del vaso, buscando que lo cuadrados que acabamos de dibujar queden centrados en la boca.

A uno de los cuadrados le inscribimos un círculo, o sea dibujamos un círculo dentro con el diámetro igual al lado del cuadrado

Cuadrados ligeramente más pequeños que las bocas de los vasos. En uno se inscribe un círculo. Como ven soy bastante torpe con el compás. Los círculos grandes muestran las bocas de los vasos y los cuadros que los contienen las secciones de acetato que se cortan para poner sobre los vasos.

Con el cortador cortamos el cuadrado sin círculo y para la parte con el círculo cortamos la silueta de este. Tenemos ahora dos pedazos de acetato con cada uno con un agujero en ellos, uno de forma cuadrada y otro de forma circular pero con tamaños relacionados.

Par de vasos ya con los acetatos colocados y ajustados en sus bocas.

Cada sección la vamos a ajustar con la cinta a las bocas de los vasos y con esto estamos preparados para experimentar, sólo es esperar un día de buena lluvia.

Cuando llegue el momento colocaremos los vasos  en el exterior, asegurándonos que ambos estén en las mismas condiciones y horizontalmente. La lluvia comenzará a llenar los vasos pero sólo podrá entrar por las siluetas que recortamos, una cuadrada y otra circular.

Luego de esperar un buen rato, para que se logren llenar apreciablemente vamos a recogerlos para medir cuanta agua ha entrado en cada uno.

Vasos luego de la lluvia. La foto no es buena y no se logra apreciar el agua. Esta fue luego de varios intentos y fracasos como vasos caídos durante el aguacero.

Lo primero que notarás es que en el vaso con la silueta cuadrada hay más agua. Esto es de esperarse pues como la silueta circular es de tamaño inferior debe entrar menos agua en el otro vaso. Para ser precisos utilizamos una jeringa para medir los volúmenes, en mí caso dieron los siguientes datos:

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Bien, ahora lo que hacemos es dividir el correspondiente al cículo por el del cuadrado y multiplicar el resultado por 4, así

,

que sería mi experimental para ser comparado con el correcto y vemos que dado lo rudimentario del método se acerca satisfactoriamente. Cortar el disco no fue tarea sencilla con mis aptitudes manuales. Además es importante dejar suficientemente tiempo los vasos en la lluvia, pues el método es más efectivo entre más gotas entren. También asegurar que estén horizontalmente, pues pueden comenzar a entrar agua que no ha caído justo en la boca.

Pero ¿cómo es esto? Pues fácil, como habíamos dicho entre más grande el área más agua entra y esta relación de hecho es lineal así que se tiene que la razón entre los volúmenes de agua es igual a la razón de las áreas

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Ahora bien. Como hemos sido cuidadosos en hacer que el diámetro del disco coincida con el lado del cuadrado y para cada uno se tiene: y $A_{cuadrado}=d^2$, se sigue

,

lo que algunos gustan por escribir como

.

Lo que explicaría nuestro resultado.

De hecho este es un método muy utilizado para la evaluación de áreas que se conoce como Método Montecarlo, que lo que hace es hacer dispararos aleatorios sobre una área de referencia que contiene el área que deseamos  calcular. La probabilidad que un disparo caiga dentro del área de interés y no por fuera dependerá de la razón entre las áreas. Así si todos los disparos cayeron en el área estudiada sabremos que esta cubre toda el área de referencia y coincidirán. Si sólo la mitad de los disparos entraron entonces el área será la mitad de la de referencia, precisamente como hemos hecho con el disco con nuestra área de referencia el cuadrado.

Acá un video que muestra el método y otros dos para que celebremos juntos este sábado Pi

Ondas gravitacionales. Nuevos ojos para la humanidad.

El pasado martes anunciaron el premio Nobel de Física para este año que, casi sin sorpresa, fue otorgado a Rainer Weiss,  Barry C. Barish y Kip S. Thorne , en ese orden, por sus contribuciones al experimento LIGO y la detección de ondas gravitacionales. Es una situación interesante pues con apenas 4 eventos observados hasta el momento es considerado uno de los logros más grandes de la humanidad. Un siglo tuvimos que esperar para superar la dificultad técnica de ser capaces de detectar oscilaciones del tamaño de fracciones del núcleo atómico, pero eso no es todo. Para detectar una ola en el mar, por ejemplo, basta con colocar un flotador en la superficie y ver su movimiento (cambios de altura), y para una onda electromagnética la detección de una corriente, (electrones moviéndose) cuando esta pasa. En cambio con las ondas gravitacionales la situación es bien diversa: ya no podemos hablar de movimiento en forma tan despreocupada pues cuando nos referimos a movimiento estamos hablando de cambios de posición en el espacio a través del tiempo, y con las ondas de gravedad lo que oscila es precisamente el espacio, y el tiempo también. La cuestión de estas mediciones es suficientemente compleja como para que no me atreva a tratar de explicarla como no me siento incluso con la convicción de que yo mismo la entienda. Quiero sin embargo hacer un paralelo con otra instancia histórica que puede ayudarnos a entender la magnitud de la situación en la que nos ha puesto este descubrimiento.

De un lado al otro con con las ondas electromagnéticas

A mediados del siglo XIX James Maxwell reunía, completaba y expresaba de manera general las leyes del electromagnetismo, que en forma compacta matemática presentó como

El segundo término de la última ecuación era algo nuevo en la Física e implica la existencia de las ondas electromagnéticas, que además no necesitaban de ningún medio para propagarse (se trasladan incluso el vacío). Este último detalle causó malestar en la comunidad científica del momento. Hoy por hoy estamos rodeados de ondas electromagnéticas producidas por los humanos(la señal de WIFI o de celular con la seguramente logró acceso a esta entrada son un ejemplo), pero en aquella época tomó dos décadas para que pudieran ser generadas y detectadas controladamente para así poder establecer, por ejemplo, su velocidad.

El experimento llevó a cabo Heinrich Hertz en 1887,  una década luego de la muerte de Maxwell, generando ondas a partir de la chispa que saltaba entre dos electrodos enfrentados. A cierta distancia se encontraba un receptor, constituido también por dos electrodos enfrentados, entre los cuales saltaba una chispa cuando la onda pasaba. Los resultados de Hertz fueron conclusivos y la teoría de Maxwell tomó fuerza para ser aceptada.

Dibujo esquemático del experimento de Hertz

Menos de una década paso para que Nikola Tesla ideara la forma de utilizar este nuevo tipo de onda para trasmitir información inalambrica, con lo que hoy conocemos como radio, y aun así nadie en ese momento imaginó siquiera lo que implicaría para la humanidad. Cómo, apenas medio siglo después, prácticamente se convertirían en parte fundamental de la sociedad moderna.

Algunas de las muchas aplicaciones que hoy por hoy tienen las ondas electromagnéticas.

Sin embargo, Hertz en su experimento también encontró algo inusual. Al colocar una pantalla opaca entre el emisor y el receptor pudo observar que el brillo de la chispa era menos intenso. Viendo más detenidamente este fenómeno, determinó que los objetos cargados perdían carga más fácilmente cuando eran iluminados. Para ser precisos con luz de alta frecuencia, lo que denominamos Ultra Violeta (UV). Los intentos por explicar la naturaleza de este fenómeno, que dependía de la frecuencia y no de la intensidad de la luz, fueron infructuosos utilizando la joven, poderosa y vigorosa teoría de Maxwell. En efecto, la teoría de Maxwell además concluye que la luz no es otra cosa que una onda electromagnética de frecuencia particular. Por lo que de ser correcta podría explicar también este fenómeno.

Distintos tipos de ondas electromagnéticas y sus emisores. Tomado de la página del experimento ALMA en Chile.

De hecho, el experimento de Hertz estaba simultáneamente mostrando que la teoría de Maxwell no es la correcta. En 1905 Einstein explica el fenómeno descubierto por Hertz, hoy llamado fotoeléctrico, abandonando la idea de que la luz sea una onda y rescata la naturaleza corpuscular, a la Newton, con partículas que llamamos fotones. Aun hoy es difícil conciliar con el sentido común que la luz sea onda, como dice Maxwell, y, a la vez, corpusculos. Pero gracias a esto se da el nacimiento de lo que hoy conocemos como la mecánica cuántica, base de la Electrodinámica Cuántica, que remplaza a la de Maxwell. Nos queda como moraleja que un experimento que inicialmente parecer ayudar a establecer una visión de mundo puede tornarse en contra, digamos, de aquella visión que favorece. O sea, como se dice popularmente «Nadie sabe para quién trabaja».

La era de las ondas gravitacionales. La cúspide del reinado de Einstein

También en 1905 Einstein, basado en los estudios de Maxwell, plantea una teoría que termina por echar por el suelo la mecánica de Newton, y por la que se hace famoso. La teoría de la relatividad. Esto fue sólo el inicio de una intensa década que resultó en la teoría general de la gravitación (de la que ya hemos hablado en otras oportunidades) que, como la de Maxwell, predice ondas. Estas también viajan a las velocidad de la luz y, hasta donde sabemos, las ondas que los humanos podemos generar en el momento son prácticamente imposibles de detectar. Con la tecnología actual para tener chance de observarlas es necesario esperar un evento de magnitud cósmica, como el choque de dos agujeros negros (objetos también predichos por la teoría de Einstein).

Representación visual del suceso visto por LIGO

Las cuatro señales hasta ahora reportadas por LIGO, y ahora también VIRGO, son precisamente de esta índole. Dos agujeros negros danzando uno alrededor del otro a una distancia de la Tierra de ¡mil millones de años luz! (o sea una danza que ocurrió hace mil millones de años). Pero próximamente se espera tener el poder de detectar danzas menos exóticas. Esta vez con estrellas de neutrones, abriendo, de paso, la puerta a observar algo que nos diga que la teoría de Einstein no es la correcta, como le sucedió a Maxwell. De hecho ya tenemos pistas para pensar en esto.

Si fueran ondas de sonido se escucharían así. Primero en la frecuencia original y luego elevada que sea mejor apreciado por el oído humano.

En el año 2011 otorgaron a Saul Perlmutter, Brian Schmidt y Adam Reiss el premio Nobel de Física por la detección de la expansión acelerada del universo. Antes de 1999, año de su observación, pensábamos que el universo se expandía con velocidad constante y los Físicos trabajaban duramente para explicar una aceleración cero pues las teorías existentes predicen en general valores no nulos. Sin embargo, un valor nulo puede explicarse si, por ejemplo, alguna simetría del universo prohibiera valores distintos de cero. Así que por décadas se buscó esta dichosa simetría que no era evidente. Cuando se supo que esta aceleración no era nula, prácticamente todo se vino al traste y debimos comenzar de nuevo. En efecto, el valor medido es increíblemente pequeño, y nuestras predicciones sobre su valor, más precisamente sobre la causa de esta, entregan un número con 120 ceros más a la derecha que el observado. ¡La peor predicción de la historia de la ciencia! Muchos creemos que para entender lo que está sucediendo debemos comprender lo que pasa más allá de la teoría de Einstein. En el recóndito punto donde la gravitación y la mecánica cuántica se encuentran.

Por lo que entendemos estamos aun lejos de poder detectar directamente ondas gravitacionales de origen cuántico (sin embargo, pueden estar ya en la bandeja) y los gravitones, que serían los análogos a los fotones. Pero, nuevamente, esto es sólo basados en lo que conocemos, que puede estar equivocado. Así las cosas la situación es similar a la de finales del siglo XIX cuando nadie sabia bien qué era o para qué podían servir la ondas electromagnéticas. Pero estas nos permitieron ver el universo con nuevos ojos que cambiaron la historia, de la humanidad y de la teoría que las predijo.

¿Qué nos deparará el futuro? ¿Qué nuevos fantasmas invisibles aprenderemos a ver en los próximos años? ¿Qué hay más allá de Einstein? ¿Tendremos que replantear también la mecánica cuántica? ¿En qué parte del planeta se encuentran, si ya nacieron, los nuevos Einstein, Hertz y Tesla? Eso nadie lo sabe. Por suerte, como dice Lawrence Krauss, los científicos amamos no saber.

¡Nos seguimos leyendo!

Sobre espectros de dopaje que rondan los Juegos Olímpicos de Río2016

Estamos por iniciar uno de los eventos más emocionantes y esperados por la humanidad, Los Juegos Olímpicos, y antes de su arranque el tema del dopaje es protagonista. El escándalo que ha salpicado a la delegación rusa, causándole la eliminación automática de más de la cuerta parte de su delegación, hace prometer que este será un punto de discusión en las actuales contiendas. Es lamentable ver cómo los iconos del trabajo duro y la disciplina flaquean por el reconocimiento y el dinero, mostrando en muchos casos el triste estado de nuestra sociedad. Para empeorar la situación la búsqueda de claridad en las contiendas implica entre otras el empeño de materiales, equipo y gente que podrían estar realizando contribuciones relevantes a la humanidad.

Tal vez el caso más famoso de dopaje. Lance Armstrong quien confesara luego de ser acusado en 2013. El dopaje sistemático en su equipo muestra lo difícil que aveces es revelar este tipo de tretas.

Para poner a punto el laboratorio de la Universidad Federal de Río de Janeiro y lograr la certificación necesaria para los juego Olímpicos fueron invertidos en  60 millones de dolares.

La ciencia tristemente entra en las dos caras de la moneda: Por un lado la búsqueda del superhumano ayudado por agentes externos mueve equipos enteros de científicos con motivaciones tal vez no muy sanas. Estos, a la hora de hacer fraude en competencias deben, además, ser capaces de lograr ayudas lo suficientemente imperceptibles para no ser detectadas por las pruebas anti dopaje; Por el otro lado también hay científicos trabajando en sistemas que permitan revelar fraudes con mayor precisión, aunque en este caso el resultado es sólo uno de las muchas aplicaciones que la técnica puede tener.

Diego Maradona el mundial de fútbol de 1994 momentos antes de que le fuera tomada la muestra que revelaría la presencia de cinco sustancias prohibidas en su orina.

 

Mientras la toma de muestras de orina y sangre para las pruebas son bien conocidas por todos, el procedimiento de revelación y análisis posterior es algo que en general ignoramos. En esta entrada trataré de dar un pequeño sabor de cómo trabajan los reveladores de dopaje para los juegos  Olímpicos de Río de Janeiro, siendo una oportunidad más para descubrir un poco de ciencia. Para esto debemos primero hablar de Espectros… sí espectros.

Espectros que no son fantasmas

La detección de agentes de dopaje se realiza a través de espectros.  La palabra espectro tiene básicamente dos significados en el español donde la más conocida es la de fantasma. Sin embargo, también así se llama al conjunto de distintas posibilidades que un fenómeno o situación puede tener. Por ejemplo el espectro de edades en un salón de clase usualmente barre un periodo de alrededor de dos años, y ese espectro cambia de curso en curso. Así para el último año de escuela el espectro estará entre los 16 y los 17 años, mientras que para el primero de la básica estará entre los 6 y los 7 años. Para la escuela entera el espectro se amplia a todo el rango desde los 6 a los 17. De modo que una persona puede, conociendo la edad de un niño, saber más o menos su curso. Esto último es lo que denominamos un filtro, que se encarga de escoger sólo un rango en el espectro de tal forma que los valores que caen dentro del rango permitido por el filtro corresponden a un curso dado. Este es precisamente el truco que vamos a utilizar con el dopaje aunque no con edades sino con distancias y radios de giro como ya veremos.

A la palabra espectro los científicos le hemos dado una particularidad extra pues no solo nos interesa cuales son las posibilidades sino además cual es la recurrencia de cada una. Así por ejemplo sabemos que en el último año pueden haber niños que por una u otra razón llegaron con menos edad, por ejemplo 14 o 15 años, lo que ampliaría el espectro, sin embargo, estos casos son menos frecuentes que los de 16 y 17 años. En forma más precisa las edades más frecuentes son 16 y 17, una información valiosa si queremos saber más sobre el espectro. En efecto con esta información podemos, por ejemplo, distinguir mejor el último curso del penúltimo. En ambos casos su espectro cubre las edades de 15 a 17, pero en el penúltimo curso la edad 15 es mucho más frecuente.

Para un científico un espectro entonces son las posibilidades de una medida junto con la probabilidad, o frecuencia, que cada una de estas tenga. En términos estadísticos esto es lo que se denomina histograma, tan famoso en época de elecciones.

En un curso de fotografía se han arreglado los participantes por sus edades en intervalos de 10 años. Casi la tercera parte de las personas tienen entre 30 y 39 años. El 72 por ciento de los participantes tiene entre 20 y 49 años.

Existen gran variedad de espectros y cada uno a la vez tiene un gran abanico de aplicaciones prácticas y científicas. El espectro que hoy no atañe es el de masas en una muestra dada, por ejemplo de orina o sangre.

El espectrómetro de masas

El aparato con que se obtiene un espectro es denominado espectrómetro o espectroscopio, aunque este último usualmente se restringe a los espectros concernientes a la radiación electromagnética como la luz visible. Para el análisis de pruebas para dopaje se utiliza el espectrómetro de masas que distingue partículas o moléculas por su masa, o mas precisamente por el valor dado de la razón masa carga eléctrica m/q, y se aprovecha el hecho que la masa prácticamente identifica cada molécula y elemento conocido. La técnica tiene variantes con distintos detalles dependiendo de la aplicación especifica  pero el punto general es la utilización de la interacción de las moléculas con un campo electromagnético donde el más usual el uno magnético, caso que expongo ahora brevemente.

En ausencia de campos eléctricos una partícula con carga interactua con el campo magnético experimentando una fuerza, fuerza de Lorentz, dada por:

,

donde es la velocidad de la luz en el vacío y es la correspondiente de la partícula. El producto «» es una operación entre los vectores y que indica que la fuerza que la partícula experimenta es perpendicular a ambos. De la famosa segunda ley de Newton, , vemos entonces que la aceleración , que es el cambio en el tiempo de la velocidad, es perpendicular a la velocidad. Se concluye, entonces, que la magnitud de la velocidad no puede cambiar, pues esto indicaría una aceleración en la dirección de la velocidad, y los cambios de velocidad se evidencian sólo en un cambio en su dirección. Suponiendo que no cambia en el tiempo tenemos que la magnitud de la aceleración también permanece constante en el tiempo. Tenemos entonces un movimiento donde la rapidez (magnitud de la velocidad) es constante y el cambio de su dirección, dado por la aceleración, también es constante en el tiempo. Este es precisamente el movimiento que experimenta una partícula en una trayectoria circular con rapidez constante así que concluimos que las partículas se mueven en círculos.

Una fuerza de magnitud constante siempre perpendicular a la velocidad causa un movimiento circular uniforme.

Podemos saber el radio del círculo para la trayectoria utilizando la expresión para la aceleración centrípeta como ya lo hiciéramos antes en nuestra cita con Sandra Bullock . Con tenemos de la segunda ley que

,

de modo que

.

En realidad la velocidad de cada partícula depende de la masa pues cuando son aceleradas antes de entrar al espectrómetro su aceleración es inversa a su masa, nuevamente por la segunda ley de Newton. La aceleración se realiza por medio de un voltaje  que brinda a las partículas una velocidad dada por:

.

Finalmente tenemos entonces

,

Ya que todas las moléculas experimentan el mismo voltaje y campo magnéticos, con una constante universal, tenemos una relación uno a uno entre la razón y el radio de la trayectoria. Usualmente para aplicaciones de análisis de muestras las moléculas se bombardean con electrones de modo que algunos son atrapados por estas que quedan ionizadas. En general sólo toman un electrón lo que indica que la carga de las moléculas también es la misma para todas e igual a la carga del electrón y los radios de las trayectorias quedan determinadas exclusivamente por la masa de las partículas.

 

Las trayectorias de las dependen de su masa. Las partículas más masivas tienen radios de giro mayores, lo que permite distinguir las distintas partículas por su posición en el detector.

Así, como hiciéramos con los niños y sus cursos escogiendo un rango de edades para evidenciar el curso correspondiente, si queremos conocer la masa de las partículas involucradas debemos escoger un rango de radios (distancias). El detector se encarga de evidenciar la localización de cada partícula y por tanto su masa, mientras un contador graba la recurrencia de cada dato. El resultado entonces se puede graficar haciendo un histograma que nos muestra un espectro de masas como este.

Espectro de masas para una muestra de piel de un fumador regular luego de consumir café. Se revela la presencia de Nicotina (m/z 163) y cafeína (m/z 195). Tomado de link.

Un caso más complejo es el del espectro del viento solar tomado por la sonda SOHO .

En el espectro de masas del viento solar se revelan elementos como Oxigeno (masa 16), SIlicio (masa 28), Calcio (masa 40) y Hierro (masa 56). Tomado de link.

En los anteriores el análisis se realiza comparando calibraciones previas que permiten revelar la presencia de elementos según los picos observados. Dicho esto se tienen dos características que hacen más práctico un espectrómetro: su sensibilidad, que permite detectar elementos muy poco abundantes, y su resolución, que permite distinguir picos causados por dos partículas de masa similar. En el mundo de la trampa por dopaje se busca siempre lograr que la abundancia de los elementos prohibidos en la sangre y orina, sea inferior a los que pueden ser detectados. De no ser posible esto entonces se trata de camuflar estos elementos de modo que no puedan ser distinguidos de los permitidos, aprovechando que las sustancias organicas en general tienen masas muy similares. Por fortuna, los avances tecnológicos también logran mejorar las técnicas cada Olimpiada, así por ejemplo se cuentan por decenas los casos de muestras archivadas que en años pasados pasaron las pruebas sin problema y ahora se observan dopadas. La resolución del espectrómetro está dada por la distancia mínima entre picos que se pueden diferenciar, y para dos masas la distancia entre picos está dada por:

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Para aumentar esta diferencia podemos o bien disminuir el campo magnético , lo que implicaría trayectorias más amplias y por tanto un equipo más grande, o aumentar el voltaje . Cuando se llega a el límite práctico de esta simple complementación se opta entonces por combinar distintas fases de medición, por ejemplo rompiendo las moléculas luego de la primera fase de medición de modo que es posible revelar su estructura interna. Todos estos y más serán implementados en el laboratorio de la Universidad Federal de Río de Janeiro en la actual versión de los Olímpicos, donde serán analizados más de 6000 muestras de sangre y orina durante las justas, implementando un espectrómetro tipo cuadrupolar.

En este caso la situación en ligeramente distinta pero nuevamente es la interacción entre las cargas y el campo lo que divide espacialmente las partículas según su masa,

Nunca antes se había logrado un nivel de detección como el que se tiene ahora, por lo que no sería de extrañar el aumento de los deportistas hallados en la trampa, aunque todos esperamos que luego de la situación con Rusia este no sea el caso. Por el contrario, ojalá en estos Olímpicos los protagonistas sean sólo los deportistas, que con su trabajo diario, arduo  y apasionado nos motivan a todos a buscar el máximo nivel en cada cosa que hacemos.

Nos estamos leyendo.

Debo agradecer la atenta lectura, correcciones y sugerencias de Daniel Gallego del Institudo Catalán de Investigaciones Químicas.

La gravedad y la luz: cuando recto no es lo correcto

Está por finalizar el »Año internacional de luz» que  además de conmemorar el aniversario de varios eventos de relevancia científica y tecnológica relacionados con la luz, busca recalcar en el consciente de la sociedad cómo la luz ha sido, es y seguramente será fuente de bienestar, inspiración y creación en la humanidad. Simultáneamente celebramos los cien años de publicación en su forma final de la relatividad general de Einstein, la cual generaliza las conclusiones de la relatividad especial al incluir la gravitación. Es interesante notar que la elegancia de la teoría propuesta por Einstein le valió su fama a pesar que durante unas cuatro décadas se le considerara un área árida de la física con ninguna aplicación en la vida diaria e incluso en las observaciones cosmológicas. En la década del sesenta, con mejores métodos de medición y de telecomunicación esto comenzó a cambiar y hoy por hoy sabemos que la relatividad general impacta desde los sistemas de posicionamiento global hasta las observaciones de precisión del cosmos.

La idea fundamental de la teoría nos indica que el espacio-tiempo, que es donde nos movemos, debido a la gravedad es dinámico y flexible, y en particular las líneas rectas no simpre son como las dibujamos en el cuaderno. Para ser más precisos podemos utilizar un rayo de luz como la definición de línea recta, un comportamiento bien familiar para todos.

Show Laser. Los rayos laser siguen trayectorias claramente rectas.

La luz al pasar de un medio a otro sufre cambios en su velocidad de propagación. Esto se refleja en un ángulo de desviación de su trayectoria original.

También conocemos que esta trayectoria se dobla cuando pasa de un medio a otro, en lo que llamamos refracción, debido a un cambio en la velocidad de propagación de la luz en distintos medios. Fenómeno que permite que funcionen desde los pequeños lentes del microscopio hasta los gigantes de los telescopios espaciales. Bien, pero mientras la luz este en el vacío, o en un sólo medio, es de conocimiento común que el puntero Laser forma una línea recta. Ahora bien, supongamos que un rayo de luz se propagaba horizontalmente dentro de un sistema acelerado hacia arriba. Un observador fuera del sistema verá que el rayo golpea la pared en un punto inferior a la horizontal debido a que el sistema sube aceleradamente. Un observador adentro coincide con el anterior pero su explicación es que la luz va experimentando un cambio en su velocidad vertical de modo que su trayectoria se va inclinando cada vez más y lo que observamos dentro de este sistema acelerado dista de las líneas rectas que estamos acostumbrados. Claro está que para observar estos efectos la aceleración debe ser increíblemente grande o las distancias enormes para percibir esta curva.

Al acelerar hacia arriba la trayectoria de la luz se ve inclinada hacia abajo.

Dos personas caminando desde el ecuador hacia el norte piensan, al principio que nunca se cruzarán. La curvatura del espacio hace que aun siendo paralelas se intercepten.

Los espacios a los que nuestro cerebro se ha adaptado son espacio donde por ejemplo las líneas rectas paralelas no se cruzan, y eso ya lo formalizaron los antiguos griegos y por esto los llamamos espacios euclidianos o planos. En estos espacio además suceden cosas como el teorema de Tales o que la suma de los ángulo internos de un triangulo sea 180 grados, pero es posible pensar en espacios donde esto no ocurra y que denominamos espacios curvos. Por ejemplo en la superficie del globo terráqueo podemos dibujar líneas rectas paralelas, que llamamos meridianos, las cuales son paralelas a la altura del ecuador pero que se cruzan en los polos. O el triangulo mostrado en la figura vemos que la suma de ángulos es 90+90+90=270 grados. Lo interesante es que para alguien que sólo tenga información local del globo terráqueo, como nosotros cuyo campo de visión no es más allá de unas decenas de kilómetros estas dos rectas no se cruzarán. Así se dice que todo espacio curvo localmente se comporta como uno plano, y por ejemplo el teorema de tales se sigue satisfaciendo aproximadamente mientras tomemos rectas y triángulos  suficientemente pequeñas.

El punto crucial ahora es retomar el teorema de equivalencia que ya alguna vez discutimos que permite concluir que el mismo comportamiento observado en el sistema acelerado tendrá la luz en un campo gravitatorio, o sea ¡la gravedad implica que el espacio-tiempo es curvo! De ahí que usualmente se diga que gravedad es equivalente a geometría del espacio-tiempo.

Este fenómeno nos da también una idea de lo que debemos hacer si queremos comprobar esta teoría. Debemos observar, y si es posible medir, este efecto el cual se revelerá cómo un corrimiento entre la imagen aparente de un cuerpo y su posición real cuando la luz que este proyecta pasa cerca a un cuerpo que deforma el espacio tiempo de forma considerable, justo como ocurre cuando tratamos de dar en un blanco que está bajo la superficie de la agua.

Imagen distorsionada debido a la refracción.

La imagen del objeto se ve corrida de su posición original debido a la desviación que sufre la luz. En este caso por refracción.

En este caso será la imagen de las estrellas lejanas al pasar cerca a una estrella cercana, como el Sol.

 

La curvatura generada por la masa del Sol desvía la luz proveniente de una estrella cambiando su posición aparente.

Analisis dimensional y ángulos desviación de la luz

Para poder estimar cuanto se desvia un rayo de luz al pasar cerca a una masa esférica como el Sol podemos utilizar análisis dimensional. En pocas palabras el análisis dimensional tiene en mente que, cuando cuantificamos el universo,  además de los valores existe otra propiedad que distingue entre las cantidades medidas. Así distinguimos una medida de tiempo de una de distancia y decimos que son cantidades básicas .  Existen también cantidades que son derivadas de estas como la velocidad

De este modo se tiene que dos cantidades pueden ser iguales sólo si las dimensiones -veces que aparecen las cantidades básicas- de tiempo y distancia son iguales. Por ejemplo, el tiempo que me toma en llegar al supermercado puede ser directamente proporcional a la distancia que me separa de este,  e inversamente proporcional a la velocidad con que me muevo

pues en ambos lados las dimensiones son iguales, algo que denotamos utilizando los paréntesis cuadrados:

En la anterior debemos notar que utilizamos el simbolo que denota proporcionalidad, que nos indica que existen cantidades numéricas que no conocemos pero que de todas maneras no afectan el análisis dimensional pues no tienen dimensiones, que llamamos cantidades adimensionales. Para nuestro análisis necesitaremos una cantidad básica más, la masa, con la cuál podemos construir las fuerzas. Utilizando la segunda ley de Newton -la magnitud de la fuerza aplicada sobre un cuerpo está dada por la multiplicación de la masa del cuerpo y la aceleración que este experimenta- se tiene que las dimensiones de fuerza son,

Por otro lado nos interesa calcular un ángulo de desviación, que es una cantidad sin dimensiones, pues los ángulos, , pueden entenderse como la distancia barrida por el giro, , dividida por la distancia al centro de giro, :

Cabe mencionar que los ángulos definidos de este modo tienen un valor dado en unidades de radianes. Por ejemplo, el ángulo barrido por el radio de un círculo en una circunferencia, es

de la bien conocida formula para el perímetro del círculo.

En conclusión, si queremos obtener el ángulo de desviación debemos construir, a partir de posibles cantidades involucradas en el fenómeno, una cantidad sin dimensiones.

Ángulo de desviación de la luz por un cuerpo esférico

Para proceder debemos identificar primero los posibles parámetros – cantidades- que pueden aparecer en este fenómeno. Para esto recordemos que aunque la gravedad de Einstein es una generalización de la de Newton aun debe reducirse a la ley universal de la gravitación en en las situaciones que esta es aun precisa. Para esta tenemos que la fuerza experimentada por dos cuerpos esféricos está dada por

con y las masas de los cuerpos, la distancia del centro de uno al centro del otro y la constante universal que determina la intensidad de esta interacción y además fija las dimensiones de tal forma que a ambos lados de la ecuación obtengamos una cantidad con dimensiones de fuerza.

Tenemos, entonces, que el ángulo que buscamos debe depender de la masa del cuerpo y de la constante universal. También de la distancia, pero en el caso que se trata de una trayectoria donde la distancia esta cambiando continuamente no es claro qué distancia debemos utilizar. Una distancia característica de la trayectoria es la distancia mínima a la que pasa el rayo de luz, y que denotamos . Otra distancia posible sería el radio de la masa esférica, sin embargo, para la gravitación los efectos de una masa esférica son los mismos que los debidos a una masa puntual, o sea de radio nulo, donde se concentra toda la masa. Por lo menos para los fenómenos que ocurren más allá del radio de la masa esférica. Así que la única distancia disponible es . Ahora bien, con la luz no tenemos una masa, de hecho los fotones, partículas de luz, no tienen masa. Sin embargo, tenemos una propiedad que la hace muy particular, como lo sabia Einstein desde sus postulados de la relatividad Especial y es su velocidad de propagación . En resumen tenemos la siguiente situación

Parámetro	Simbolo	Dimensiones
Masa cuerpo		Masa
Distancia Mínima		Distancia
Constante gravitacional
Velocidad de la luz

Para ser precisos existe otra distancia que es la longitud de onda, o equivalentemente la frecuencia, que determina el color del rayo de luz. Sin embargo, supondremos que las distancias de relevancia en el sistema son mucho más grandes que esta y podemos considerar la luz como un simple rayo sin considerar sus propiedades ondulatorias. Estas deberan ser consideradas si queremos ver los efectos cuánticos involucrados.

Con estos parámetros tenemos que la única opción es que el ángulo de desviación tenga la siguiente expresión

pues sólo de este modo se logra una cantidad sin dimensiones. La expresión como tal es en cierto modo de esperar. Entre más fuerte sea la interacción gravitacional, esto es $G$ sea más grande, o el cuerpo sea más masivo, $M$ más grande, la curvatura del espacio será mayor y por tanto el ángulo. Caso contrario ocurre si agrandamos la distancia entre el cuerpo y la trayectoria, esperando que para grandes distancias el ángulo sea casi nulo. Así mismo si la velocidad de la luz es infinita, cómo lo es en la mecánica de Newton, la luz no debe verse desviada, como concluimos de nuestra expresión. Aun así, si queremos comparar con un experimento debemos precisar la constante de proporcionalidad que nos daría el valor del ángulo predicho. Antes de hacerlo aclaro que el ángulo también podría ser una función de la cantidad encontrada, de modo que nuestro resultado esperamos sea sólo válido para ángulos muy pequeños.

En su artículo de 1911 Einstein hace un primer intento por cuantificar los efectos de la gravedad en la luz utilizando una versión inicial de la teoría de generalizada de la gravedad, como la llamaba al inicio. En esta, con la única consideración del principio de equivalencia, Einstein encuentra

Para el Sol y un rayo de luz pasando por su borde esto implica un ángulo de desviación de 0.85 arcsegundos. Pensemos que 3600 arcosegundos son 1 grado y que la luna llena cubre de extremo a extremo medio grado, o sea 1800 arcosegundos. Esto nos muestra que aun con el sol este efecto es pequeño. Interesantemente este mismo resultado había ya sido encontrado más de cien año atrás por el astrónomo Johann Georg von Soldner en 1801 utilizando la teoría corpuscular de la luz siguiendo una idea aislada de Newton en el cierre de su tratado en óptica. El resultado de Soldner cayó en el olvido por el auge que tenía en ese momento la teoría ondulatoria de luz además del valor minúsculo del resultado que lo hacia imposible de verificar experimentalmente. su artículo sólo fue revivido brevemente por Físicos Nazis a inicios de la década de los 20 en un intento por desacreditar la teoría del cada vez más famoso Einstein.

Ya que la teoría inicial de Einstein de la gravitación consideraba solamente el principio de equivalencia, por lo que es de esperar que sus resultados coincidan así sea aproximadamente con los de cualquier otra teoría que tenga este principio en cuenta, cómo en el cálculo de Soldner. En 1916, cuando tiene una propuesta final de su teoría general, que incluye la curvatura precisa del espacio además del principio de equivalencia, Einstein vuelve a atacar el problema. En esta ocasión encuentra

conincidencialmente exactamente el doble del caso clásico, que para un rayo de luz pasando apenas por la superficie del Sol es de 1.75 arcosegundos, un valor con posibilidades de ser verificado experimentalmente, cómo posteriormente lo hiciera Sir Arthur Eddington en el eclipse de sol del año 1919, con valores observados de

correspondientes a los dos puntos de observación en el planeta. Estos definitivamente descartan el resultado de la teoría de Newton, encontrado por Soldner, y favorecen el de Einstein. Para hacernos mejor la idea de la magnitud del fenómeno, y por tanto la dificulatad de la medición, veamos la siguiente figura que muestra un rayo de luz pasando por la superficie del sol en una trayectora hasta la Tierra.

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol. El rayo de luz, en rojo, prácticamente se superpone a una línea recta en azul punteado.

Como vemos las dimensiones del dibujo no dejan distinguir el caso del rayo desviado en rojo con el directo en azul punteado. Para ver los efectos en un dibujo a estas escalas necesitamos un estrella más grande. Por ejemplo si tomamos una estrella con mil veces la masa del Sol pero con el mismo tamaño tenemos un ángulo de desviación de casi 1800 arcosegundos, !una Luna llena!, y la figura se vería cómo

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea  una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Teoría de Brans-Dicke

Para nuestro caso sólo contamos con el Sol para hacer estas observaciones y las incertidumbres grandes en los resultados encontrados hasta inicios de los 60, aunque descartan los predicho por Newton, dejaban abierto el valor preciso del ángulo y por tanto la teoría que lo explica.

En efecto el anterior resultado para el ángulo de desviación es propio de la gravedad de Einstein, la cual dista de ser la única posible. Existe, por ejemplo, otra propuesta conocida como escalar-tensorial o de Brans-Dicke donde se abre la posibilidad que la constante universal no sea una constante sino que sea un número dictado por el contenido de materia en el universo observable. Esto en el espírito de lo que hoy generalmente se denomina principio de Mach. El efecto neto es que la forma en que se mide en el universo dependerá de un parámetro libre $latex\omega$, y el ángulo de desviación queda dictado por:

De modo que si $latex\omega$ es muy grade los resultados de de la teoría de Brans-Dicke y la de Einstein coinciden muy bien. A finales de la década de los 60’s una serie de experimentos pusieron en duda la esfericidad del Sol, y los datos experimentales parecían favorecer la teoría de Brans-Dicke con $latex\omega=7$. Para este $latex\omega$ tenemos un ángulo de desviación de $1.66$ arcosegundos el cuál necesita muy buena resolución para ser distinguido del de Einstein. Esta resolución se logra con experimentos de la década de los 70 e imponen sobre el valor de $latex\omega$ un límite inferior de más de 500. Al ser más sencilla la propuesta de Einstein hoy por hoy decimos que esta es la descripción correcta de la gravitación.

Agujeros negros

¿Qué pasa si dejamos la misma masa para el Sol pero disminuimos su radio quinientas mil veces? Este radio coincide con el radio de Schwarzschild para el Sol, y es el tamaño crítico para que el Sol se convierta en agujero negro. En este caso los efectos son claramente visibles y las trayectorias para los rayos de luz se verían de la siguiente forma

Trayectorias de un rayo de luz cerca a un agujero negro.

En realidad esta gráfica ha sido dibujada utilizando sólo la aproximación de ángulos pequeños, que cómo vemos no es cierto en este caso, por tanto no podemos fiarnos de lo que esta nos dice. Sin embargo, no sería de extrañar que en campos gravitacionales fuertes, cómo los experimentados cerca a un agujero negro la luz se vea dramáticamente desviada. Este es una efecto que vemos en la película Interestelar que nos muestra una agujero negro, Gargantua, el cual está rodeado de un disco de gas, disco de acreción, con la materia que gira su alrededor. Esta materia emite luz, de la cual usualmente observamos sólo rayos X, y esta luz se ve desviada por el capo gravitatorio del agujero. Así, aunque el disco de acreción está en el ecuador del agujero, vemos una imagen de la parte de atrás en los polos, de modo que vemos el agujero cómo rodeado por una aureola luminosa.

El disco de acreción está sobre el ecuador, pero la luz de la parte trasera, en principio cubierta por el agujero, se observa en los polos debido a la desviación de la luz por la geometría del espacio cerca al agujero negro.

Lentes gravitacionales

Un fenómeno que se explica con la desviación de la luz y que ha venido siendo explotado en la astronomía son lo lentes gravitacionales. En este caso son las galaxias o grupos de estas, que con cientos de miles de millones de estrellas generan efectos visibles con resultados sorprendentes y artísticos. En este caso no es posible utilizar la consideración de cuerpo esférico y es necesario un formalismo general que interesantemente tiene analogía con la refracción de la luz al pasar por un medio, lo que refuerza aun más el que se les llame lentes.

La cara feliz cósmica captada por el telescopio Hubble. Es la combinación de varios anillos de Einstein generados por fenómeno de lente gravitacional.

Algo peculiar que ocurre cuando los efectos de la desviación de la luz son grandes es el hecho que podemos tener múltiples imágenes de un mismo objeto debido a que la luz puede tomar distintos caminos para llegar al mimos punto. Por ejemplo para el disco de acreción de Gargantua teníamos una imagen arriba y otra abajo. Sin embargo, usualmente estos caminos no tienen longitudes iguales y se tiene que las imágenes corresponden a tiempos diferentes y podemos observar un mismo evento varias veces. Esto es lo que sucede por ejemplo con la explosión de supernova Refsdal a nueve mil millones de años de distancia, que ya fue observada en el 2014. En este caso el grupo de galaxias MACS J1149+2223 está alineada con la galaxia donde se generó la explosión y sirve como un lente gravitacional que nos permitirá observar el evento de supernova nuevamente este 2016.

A modo de conclusión

El efecto de desviación de la luz no es la única relación que existe entre la relatividad general y la luz, recordemos simplemente que las ideas de Einstein se originaron de los trabajos de Maxwell sobre los campos electromagnéticos. Sin embargo, es un fenómeno que nos permite, como en esta entrada, recorrer desde la construcción misma de la teoría hasta las implicaciones cuantitativamente hablando, tocando de paso fenómenos que nos seguirán maravillando por siempre, y de este modo unirnos a la celebración de estos dos grandes eventos del año.

No puedo cerrar sin decir que aunque todos le deseamos larga vida a la luz, desearle LUX AETERNA a la teoría general de la gravitación sería desearnos menos emociones en el futuro. Muchas son las razones para esperar que tarde o temprano la luz brillará para una teoría más completa que la de Einstein. Materia oscura, ondas gravitacionales, agujeros negros y la energía oscura son instancias donde esperamos encontrar pistas sobre ese nuevo pilar de la ciencia.

P.D. No dejen de jugar un rato con esta aplicación que te permite crear tu propio agujero negro y ver los efectos apenas descritos en esta entrada.

Referencias

[1] A. Einstein, Uber den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes
(On the influence of gravitation on the propagation of light) Ann. Phys. 35
(1911), 898-908.

[2] A. Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitaetstheorie (The foundation
of the general theory of relativity). Ann. Phys. 49 (1916), 769-822.

[3] Clifford M. Will, El renacimiento de la relatividad general.

[4] Clifford M. Will, Was Einstein Right? 2nd Edition: Putting General Relativity To The Test, Basic Book, 1993.

[5] Einstein En-linea: Desviación de la luz y el principio de equivalencia.

[6] Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.

 

Una cita con Sandra Bullock en órbita

Convertirse en astronauta e ir al espacio sigue estando entre los deseos más recurrentes de los niños, y es un sueño que seguimos compartiendo muchos adultos que, de todos modos, nos conformamos con poder mirar la Vía Láctea desde un lugar cercano a la casa. Además, por fortuna o desgracia, tenemos la facilidad de la realidad virtual que nos permite experimentar, casi, la sensación de estar en órbita. Tal vez por esto no dejan de entusiasmar películas como Gravity, de Alfonso Cuarón, donde además es una mujer la protagonista, Sandra Bullock, lo que puede animar aun más a las niñas a volar lejos.

En esta publicación quisiera acompañar a Sandra Bullock y experimentar junto a ella, desde otro punto de vista, sus vivencias en órbita. Una cita con la Bullock, wow, y en el espacio exterior, super WOW!. Sí, ya sé que ya pasó de moda, pero hasta hoy, por fin, termino este comentario alrededor de la película que, con su casi decena de premios Oscar, ya se convirtió en una referencia en el cine de ciencia ficción.

Atracción gravitacional en órbita y cero gravedad

Antes quisiera aclarar algo. La concepción que las cosas en la Estación Espacial Internacional, y en general en órbita, flotan debido a que se encuentran lejos, «fuera», de la Tierra donde, por tanto, la atracción gravitacional es nula no es cierta.  Si lo fuera la Luna no estaría acompañándonos como lo hace desde hace unos 4400 millones de años. En efecto, podemos evaluar la aceleración de la gravedad que experimentaría alguien en la terraza de un edificio tan alto como para tocar la estación espacial internacional, a unos 420 kilometros de la superficie terrestre. Para esto utilizamos la ley universal de la gravitación para la fuerza, , entre dos objetos separados una distancia (para esferas esta distancia se mide desde el centro de la esfera), y masas y ,

con la constante universal de la gravitación. Lo que llamamos aceleración de la gravedad, , es simplemente la aceleración, . causada por esta fuerza según la segunda ley de Newton , con la masa de la Tierra, es decir:

Así sobre la superficie terrestre, , ésta es aproximadamente , que es la aceleración que experimenta todo cuerpo (en el vació) estando en la Tierra. Para una persona parada en nuestro edificio de 420 kilometros de altura, , esta aceleración en cambio es de

que en efecto es más pequeña pero que no explica que las cosas estén flotando. De hecho es aun mayor que la aceleración gravitacional que se experimenta en la superficie lunar que es alrededor de un sexto de la terrestre, , y bien sabemos que en la Luna las cosas caen, y suficientemente rápido como para percibirlo, como podemos ver en este video rodado por la misión Apolo 15. Vemos, entonces, que esto no explica que los astronautas de la estación internacional estén paseándose por ahí como si nada los estuviera atrayendo gravitacionalmente.

En caída libre

Para entender los astronautas flotando debemos recordar algo que ya mencioné en una publicación anterior, a decir que los sistemas acelerados son equivalentes a sistemas en un campo gravitatorio, o lo que se conoce como principio de equivalencia. Para entender mejor esto les recomiendo que jueguen un poco con este complemento interactivo de MinuteLab.io donde se aprecia la igualdad de ambas situaciones. Esto implica por ejemplo que, si vamos en un ascensor al cual se le cortan las cuerdas y comienza a caer libremente experimentaremos cómo nuestro cuerpo pierde completamente su peso y comenzamos a flotar. Bueno esto mientras dura la caída. Este efecto es el que utilizan los astronautas para entrenar estando en tierra. Suben en un avión que una vez estando arriba, se deja caer en caída libre, de tal forma  dentro del avión se experimenta cero gravedad.

Pero estando en órbita ¿la Bullock yo estamos en caída libre? ¡Sí!. Los astronautas, como los satélites artificiales y la Luna, orbitando la Tierra, están en caída libre. Sin embargo, su velocidad en la dirección tangencial, o sea en la dirección que rodea la Tierra, es tan grande que su trayectoria de caída no alcanza a tocar el suelo sino que se cierra en sí misma. Esto fue lo que comprendió Newton cuando supo que tanto la Luna como una manzana estaban interactuando con la Tierra del mismo modo. Así explicó que la primera no se cayera utilizando el experimento mental que hoy conocemos como cañón de Newton y que este video muestra de forma clara.

Como vemos estar en caída libre no es dramático para nuestra cita, sino, más bien, lo que le pone el toque especial.

Aceleración centrípeta y la órbita de la estación espacial

¿Entonces la estación espacial no está quietita en el espacio? ¡No! Este es el punto donde podemos descubrir que la película Gravity pareciera tener un error recurrente en su trama, o, por lo menos, algo que es difícil de justificar. Ya que el movimiento de la estación espacial es, aproximadamente. circular, tenemos que es un movimiento acelerado, de hecho ya dijimos que está en caída libre. La aceleración que experimenta un objeto en una trayectoria circular se denomina aceleración centrípeta que se expresa de la forma , donde es la velocidad tangencial y el radio de giro. Así, utilizando nuevamente la segunda ley de Newton, , tenemos que en el lado izquierdo aparece la fuerza gravitacional, mientras en el derecho la masa del cuerpo girando y la aceleración centrípeta. Con esto y conociendo el radio de giro, que coincide con la distancia al centro de la Tierra, podemos por ejemplo calcular la velocidad tangencial de la Luna, teniendo en cuenta que la distancia entre el centro de la Tierra y la Luna es de unos 390 mil kilómetros,

Así podemos predecir los 28 días de periodo de la Luna alrededor de la Tierra, ya que debe recorrer los casi 2.5 millones de kilómetros de su órbita ( 390 mil kilometros). Lo mismo podemos hacer para la estación espacial internacional con

¡WOW unas 27 veces más rápido que un avión comercial en velocidad de crucero! ¡Sí que vamos rápido en nuestra primera cita con Sandra!, aunque no lo notamos pues no hay puntos de referencia ni aire que se oponga a nuestro movimiento en el espacio. Con esta velocidad tenemos que la Estación espacial da una vuelta a la Tierra cada 93 minutos. Todo esto lo podemos comprobar en la página oficial de la Estación Internacional, e incluso podemos vivirlo en vivo, donde apreciamos que efectivamente Sandra nos puede invitar a ver el amanecer y el atardecer cada hora y media. Romántico, ¿no?

Vale pero ¿cómo termina nuestra cita?

En algún momento, luego del primer encuentro con los restos de los satélites y que parecen haber ya hecho todo el daño posible, nos dicen que debemos tener en mente que los restos volverán en unos 92 minutos. Esto lo deducen de los informes desde tierra que dicen que los restos viajan a una velocidad de treinta mil kilómetros por hora, , muy similar a la que encontramos para la estación espacial.  Así la Bullock pone la alarma de su reloj para una hora y media de tal forma que pueden tener un pre aviso.

Reloj con alarma para 90 minutos de que da aviso de la próxima llega de los restos.

Si entendemos cómo obtener el tiempo que le toma a la estación espacial dar una vuelta a la Tierra, es claro que este debe ser más o menos el tiempo que le tomará a los restos dar una vuelta también. Pues están a la misma altura y con una velocidad similar. Pero, este es el tiempo que le tomará a los restos volver al punto donde nos encontraron la primera vez, NO el tiempo que les tomará alcanzarnos nuevamente, pues como entendimos nosotros también estamos moviéndonos. Dicho de otro modo, si nos estamos moviendo en el mismo plano de los restos puede decirse que para nosotros estos no se mueven, pues vamos a la misma velocidad. Como vemos los otros autos en la misma dirección en la autopista, a pesar que ambos vamos a gran velocidad.

Podríamos pensar que la velocidad es en cambio relativa, o sea que ambos están efectivamente moviéndose y que el dato que nos dan desde tierra se refiere a la velocidad que los restos tienen con respecto a nosotros, de tal forma que nos alcanzarán nuevamente luego de hora y media. Pero para que este sea el caso, o bien lo restos no están girando y por tanto están cayendo verticalmente hacia la Tierra, o, suponiendo que estamos en el mismo plano de movimiento, los restos se estarían moviendo con respecto a la Tierra una rapidez de 60 mil kilometros por ahora de tal forma que nosotros los veamos conrapidez de 30 mil kilómetro por hora. En este segundo caso, sin embargo, la velocidad de los restos sería mayor a la velocidad de escape (la velocidad mínima para que la bola del cañón de Newton logre escapar definitivamente de la atracción de la Tierra) a la altura de la Estación Internacional, que es de apenas de 40 mil kilometro por hora. Así que de cualquier modo no nos encontraríamos de nuevo con ellos. y por tanto igual no regresan pues se perderían en el espacio exterior.

De todos modos no crean que pude salvar tan fácilmente mi cita con Sandra. En realidad la órbita que nosotros llevamos no tiene necesariamente que estar en el mismo plano de la órbita de los restos espaciales, como lo he supuesto hasta el momento. ¡En tal caso ambos podemos estar moviéndonos con velocidad de 30 mil kilómetros por hora y a la misma altura! Pero nos encontraríamos con los restos cada vez que diéramos media vuelta a la Tierra, o sea 46 minutos y no 92 como en la película. Lo que le da, incluso, más dramatismo a nuestra cita que, en todo caso no tenía futuro (somos muy distintos Sandra y yo).

Las órbitas de los satélites pueden estar en cualquier plano. Así, aun si tienen el mismo radio, sólo se encuentran en dos puntos.

Con lo anterior, pareciera que los siguientes encuentros con los desperdicios espaciales, que arruinarían definitivamente nuestra cita, ocurren de manera distinta a cómo lo muestra la película. Ahora, en realidad las órbitas no son circulares sino elipses que, para nuestro caso, tendrían uno de los focos en el centro de la Tierra. Para la Estación Internacional la órbita es apróximadamente un círculo, pero no podemos suponer lo mismo para los restos del satélite. De tal manera que aun estando en el mismo plano nos podríamos encontrar sólo una vez cada vuelta. Algo parecido a lo que sucede con los cometas y la Tierra. Por ejemplo el cometa Hartley tiene una órbita que coincide, casi, con la de la Tierra en un sólo punto, y nos visita cada seis años y medio (ver por ejemplo los anuncios de su última visita en el 2010 en ScienceBlog).

Órbitas de la Tierra (Earth) y el cometa Hartley. Tomadas del blog científico ScienceBlog

Notemos, sin embargo, que la visita del Hartley no ocurre cada que la Tierra da una vuelta, o sea un año. Lo que implica que para la situación de nuestra cita en órbita encontrarnos con la basura espacial cada 92 minútos es una coincidencia bastante improbable, necesitando órbitas increiblemente similares. Aunque esto no es imposible, más si de dañar una cita se trata, y aún más si tenemos en cuenta lo cochino que estamos dejando el espacio.

Basura espacial acumulada durante sólo las última decenas de años.

Como sea la película sigue siendo un gran intento por hacernos viajar más allá de los límites a los que estamos acostumbrados, que es precisamente lo que hace la ciencia. Por lo que no me extrañaría que en unos años uno que otro científico o ingeniero, ojalá mujeres, haya llegado a la ciencia gracias a Gravity, como seguramente lo hiciera en su momento, aunque sin comparación, «2001: Odisea del espacio» de Stanley Kubrick, y como lo está haciendo «Interestelar» de Christopher Nolan que acompañado del astrofísico Kip Thorne han hecho una peli que además de impactante está muy ceñida a lo que hoy conocemos del cosmos.

Bien, espero que además de disfrutar la peli tanto como yo con esta entrada comiencen  a verla desde otro punto de vista… la de la Física. Nos estamos leyendo.

P.D. A propósito, ¿qué tal este curso de física universitaria del profesor Andrew Cohen?

¡Al infinito y más allá!

La semana pasada tuve la oportunidad de compartir con jóvenes de un par de colegios de Tunja y también de la Escuela de Física de la UPTC en una charla que me implicó bastante trabajo de preparación. Sobre todo porque quería que fuera suficientemente dinámica e impactante cómo para dejar alguna emoción que no fuera aburrimiento. El trabajo fue tan dispendioso que no vale la pena que se quede en la charla, así que hice algunas copias de la presentación, que repartí al final del evento. Sin embargo las copias no fueron suficientes y entre más gente la aproveche mejor, así que la he dejado de acceso libre para que cualquier persona con conexión a Internet pueda disfrutarla, esperando eso sí cualquier inquietud, comentario o consejo.

Debo aclarar que por efectos de estética y también por falta de tiempo en la preparación no he colocado las fuentes originales de las figuras y fotografías que aparecen allí, las cuales son todas ajenas a mi creación y obtenidas navegando en la internet. Yo sólo las he organizado para darles un sentido y unir ideas. Sobre la música de fondo tampoco poseo derechos de autor. Se trata de las “Variaciones para cuerdas vientos y teclados” de Steve Reich, uno de mis compositores favoritos, interpretada por la sinfónica de San Francisco dirigida por Edo de Waart.

Bueno sin más preámbulos acá la presentación Prezi, con la que además de poder navegar pueden jugar haciendo zoom en las imágenes y partes del cuadro. Espero la disfruten. (Para comenzar pulsar sobre la imagen)

La idea de estas presentación nació hace más de un año cuando visité por primera vez el sitio web ESCALA donde se puede explorar e interactuar con infografía del contenido conocido de nuestro universo, desde lo más pequeño a lo más grande. La idea cuando se fue construyendo tomó forma a algo más parecido al viaje personal que nos embarcamos varios de nosotros hace unos treinta años junto con Carl Sagan en la serie de televisión y el libro Cosmos. Sin embargo, en la presentación abordé temas que no están en Cosmos. En particular preguntas relacionadas con la gravedad cuántica, que con las herramientas aprendidas por parte de la teoría de supercuerdas han tomado un matiz menos místico.

Los dos puntos que quise enfatizar en la charla fueron: a pesar que la humanidad es un conjunto de seres insignificantes en parámetros cosmológicos hemos logrado, gracias a nuestra curiosidad, creatividad y ganas de conocer y explorar, comprender el universo casi hasta los límites de la observación. Y nos hemos atrevido a imaginarnos algo más grande que el universo, el multiverso. La segunda idea es el hecho que hoy más que nunca antes el conocimiento de lo muy grande implica una comprensión profunda de lo muy pequeño. En particular, cuando exploramos lo muy pequeño, con ayuda de la teoría de supercuerdas, volvemos a encontrarnos con el multiverso, como si se encontrara justo en los dos extremos de lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño.

Nuevamente espero lo disfruten tanto como yo construyéndola,

nos estamos leyendo,

Diego

P.D. No puedo dejar de mencionar un detalle de la charla de ayer. Al comenzar la charla pregunté a los asistentes qué era lo más pequeño y lo más grande que habían visto, imaginado, o escuchado mencionar. En la primera fila estaban un par de abuelos, de alrededor de 70 años de edad y con apariencia más bien humilde. El abuelo con emoción buscó la respuesta a la primera y respondió “las partículas constituyentes”. Esa respuesta me emocionó pero la que me dejó boquiabierto fue la de lo más grande. Esa la pensó un poco más para al final responder “LA VIDA” ¡WOW! Ojala todos tuviéramos los ojos de este abuelo.

P.P.D. En algún aparte de la charla pregunté a los asistentes si habían visto la Vía Láctea alguna noche. No recuerdo que alguno haya respondido que sí e incluso algunos dudaron que se pudiera. En ese momento confirmé lo afortunado que soy de vivir fuera y lejos de la ciudad. Donde como techo tengo el espectáculo más magnífico que pueda imaginar.

P.P.P.D Les dejo además un serie de videos que hubiera deseado acompañaran la charla pero que por cuestiones de tiempo no era posible

Este corto ya es un clásico del cual se han hecho un par de remakes, pero sigue siendo el referente

Con un poco más de infografía científica precisa

Cómo de hecho sabemos cuan grande es el universo

Una comparación entre estrellas, que es ni de cerca lo más grande que hay, para notar lo pequeños que somos

Donde se muestra lo que somos capaces de inventarnos cuando de de ver lo muy pequeño se trata.

Mover átomos uno por uno no sólo puede tener aplicaciones prácticas, también producir esto. Cada punto es un átomo

El principio de incertidumbre que hace que el mundo microscópico sea tan loco que aun nos cuesta trabajo entenderlo

Bueno pero ¿qué tan grande es un átomo?

Una rápida visita al CERN (Centro Europeo para la Investigación Nuclear)

Pero tengan cuidado cuando vayan de tour por el CERN y visiten el Gran Colisionador de Hadrones, les puede ocurrir esto

Un bonito resumen del estado actual de la Física de interacciones fundamentales que incluye el paradigma de la materia oscura hasta la teoría de cuerdas

El video ganador de un concurso, propuesto por Brian Greene, para explicar la teoría de cuerdas en pocos minutos

La experiencia de enseñar

Soy Físico.

Después de estar más de cinco años dedicado a aprender e investigar en Física (de partículas elementales), mi primera experiencia en Docencia ha sido La experiencia. Nunca antes enseñé a nivel universitario. Dejo de lado los cortos tres meses que fui profesor de colegio, porque eso es otro mundo, que sea más o menos complicado que la docencia universitaria, es algo que no voy a discutir. Pero lo dejo de lado porque el tiempo fue muy corto y porque, como dije antes, es otro mundo.

Entonces, nunca antes enseñé. Ahora ya cumplí dos años en la Universidad del Atlántico. Cuatro semestres completos de cursos (más un período intersemestral). Doce cursos (no siempre distintos) de física en diferentes áreas y carreras. Cada uno, en su momento, fue un reto, requirió de mi parte un esfuerzo enorme, me exigió alta concentración y dedicación. Mucho más, de hecho, que otros con más experiencia. Y bueno, ¿ya mencioné que soy Físico? Digo, es que no tengo preparación en docencia ni en pedagogía. No quisiera que sonara a excusa pero…

Este semestre tengo en mis manos (por segunda ocasión) la gran responsabilidad que conlleva ser el primer profesor de física de los estudiantes de la carrera de Física (valga la repetición de la palabra). Este curso es bien interesante y en realidad es un reto importante. Y una de las situaciones que llaman mucho la atención es la realidad que enfrenta el estudio de las ciencias: pocos quieren hacerlo. A primera vista, no pareciera que esto fuera así, porque se inscribieron 40 estudiantes en el curso. Esto quiere decir que, por lo menos, 40 de los aspirantes a ingresar a la Universidad, eligieron el caminos de la Física. Sin embargo, una observación más atenta revela que tan solo alrededor del 15% de verdad querían estudiar esta carrera. El restante 85% están en mi curso porque no alcanzaron el puntaje necesario en el examen de admisión para acceder a la carrera que querían. Así, llegaron a Física porque fue su «segunda opción».

Así que uno se enfrenta a un grupo de personas que, además de su corta edad (un promedio que apenas llega a los 18 años), no tienen un verdadero y completo interés en el área. Muchos de ellos (¿la mayoría?) esperan poder cambiarse de carrera lo más pronto posible. Ya están adentro, hay que mantenerse y buscar la forma de hacer lo que de verdad se quiere. No busco criticar, solo presentar la realidad, poner un contexto. Porque esta es una de las realidades que hace que el curso sea un gran reto. Qué maravilla sería que el primer profesor de física en la universidad lograra que los estudiantes se enamoraran de la física y desdieran quedarse, ¿no? Interesante desafío, ¿no? Por otro lado, también está la idea de que este primer curso es (debe ser) un filtro, de manera que quienes sigan en el camino sean los que deben (léase, los que tienen con qué) seguir. Entonces, más que un desafío, la cosa se convierte en una especie de amenaza, ¿no? Y sí, ciertamente uno se encuentra con grandes dificultades con los estudiantes, específicamente por sus deficiencias formativas básicas (lectura, escritura, matemáticas), pero pienso que a veces esto es una excusa que a nosotros, docentes universitarios, se nos presenta como el mejor pretexto para evitar hacer nuestro trabajo de una mejor manera. ¡Y cómo se ve esto en mi Universidad!

Soy Físico. No soy Licenciado. No soy pedagogo. ¿Es esto una disculpa, una justificación? Yo no quiero que lo sea. Por eso el uso de la palabra «reto». Me decían, hace varios años, que yo era bueno explicando física, de hecho, me gusta hacerlo. Y este curso en particular lo quiero hacer bien. ¿Hacer que se enamoren de la física? ¿Hacer del curso un colador? ¿Un poco de las dos? Una cosa es segura: deberá ser (mucho) mejor que el del semestre pasado. Quisiera aprender a enseñar y no sé si la práctica sea el mecanismo más adecuado para lograrlo.

Ah, y ya que retomo la escritura, espero muy pronto volver a comentar sobre física y sobre neutrinos.

La Ciencia como una actividad social

«La ciencia es motor de la innovación, que a su vez es eje fundamental del desarrollo social»Mkc

Han pasado ya tres meses a mi llegada al país después de una corta estancia de investigación en el departamento de astronomía de la universidad de Chicago. Al comienzo recordé el atraso científico que vive el país con respecto a otras naciones. Pero al mirar más profundamente entendí que el atraso es cultural, puesto que no entendemos a ninguna escala que si no existe una inversión económica constante y considerable hacia la ciencia nunca tendremos el desarrollo social que nos lleve a ser una sociedad de primer mundo. Una de las razones de la limosna que, nuestros gobiernos y empresas, han otorgado lo largo de los últimos años para el desarrollo de la ciencia en el país es el desconocimiento del quehacer científico por parte de la comunidad en general y su desinterés por el desarrollo de la ciencia en el país. La culpa de ello es ocasionada por una desconexión social que tenemos entre los que hacen ciencia y los que se dedican a otras actividades. A los primeros no les gusta hablarles a los segundos y estos a su vez no les gusta escuchar a los primeros. Esto provoca que los recursos asignados para el desarrollo de la innovación en ciencia en el país sean escasos y en ocasiones queden asignados en pocas manos.

Como ha sido entendido por otras naciones, la actividad científica requiere de una gran inversión pública y privada para ejercitar la creatividad que lleve a la producción de conocimiento que de solución de las necesidades de los ciudadanos de una nación. No se debe restringir los recursos para investigaciones de ciertas áreas de la ciencia pues estaríamos cayendo en una monopolización de los recursos y en una desigualdad que entraría en contradicción con los pilares de nuestro estado social de derecho. Claro está que los científicos tienen como obligación mostrar periódicamente sus resultados tanto a la comunidad científica como al público general utilizando un lenguaje que sea adecuado para su comprensión y usando los diferentes canales de comunicación que el país ha establecido para tal fin. Esta comunicación es fundamental puesto que los científicos debe ser capaces de hacer entender a la sociedad, de la que hacen parte, la relevancia y las implicaciones del su actuar. Por su parte la comunidad necesita proveer unas efectivas condiciones para el aumento del conocimiento científico que lleve a la innovación, la cual tiene un papel importante en el desarrollo económico de cualquier nación.

Siguiendo las ideas del Manifiesto de Manchester, la relación entre la ciencia y la sociedad en un país como Colombia debe ser esencialmente una de reciprocidad, de mutuos beneficios y mutuas acciones. En donde la comunidad (políticos, empresarios y personas naturales) tiene la responsabilidad hacia la ciencia como el colectivo que recibe los beneficios y debe ser el mayor inversionista de sus actividades. Bajo este marco queda claro el papel que debe desarrollar Colciencias como intermediario de este proceso en los casos que sea necesario su intervención. Así la ciencia dejará de ser un juego de niños para volverle una labor profesional reconocida y realmente financiada por la sociedad.

El manifiesto de Manchester es impulsado por los premios Nobel Sir John Sulston y Joseph Stiglitz. Este proporciona varias ideas del manejo de la ciencia de las cuales me sentí inspirado en la escritura de esta nota de opinión.
http://www.isei.manchester.ac.uk/TheManchesterManifesto.pdf

Por: M.Sc. Camilo Delgado-Correal
Físico Colombiano

Avatares de un Super Sayajin relativista: horizontes de eventos.

Como buen niño citadino crecí en gran parte influenciado por la televisión. Afortunadamente contaba en esa época con progamas que recuerdo con mucha nostalgía y que difícilmente hoy tienen algún paragón en la televisión privada. Unos ejemplos son matemáticas 1,2,3 con Nico y Tap, y Ciencias para Niños, que fueron parte de mis primeros pinitos con las matemáticas y los experimentos en casa.  Apenas recuerdo cuantos juguetes hice, muchos un fracaso absoluto, reproduciendo los hechos por los hermanos Pico, Kika y su amigo Taro, que era el más pilo. Como las mariposas levitantes  con imanes y los cohetes con rollos de papel higiénico y bandas elásticas. Hoy me esfuerzo por recordar estos programas para jugar con mis hijos y divertirnos de otra forma.

Claro que también recuerdo con cariño a Bugs Bunny y sus amigos de la Warner Bross, en particular al Coyote. Creo que todos los que hemos visto al Coyote en acción decimos «uff claro, a mí también se me habia ocurrido algo parecido», y luego también nos preguntamos «¿De donde saca el dinero?». El pensamiento final siempre es «rayos otra vez se escapó». Bueno en realidad yo siempre pensaba «¡INTÉNTELO DE NUEVO!» porque muchas veces estaba tan cerquita de lograrlo que era una pena que no corrigiera sus cálculos y errores.

Aveces también quedaba en duda sobre qué tanto de lo que aparecía podía ser posible…  y en estos royos aún ando cada vez que veo un dibujo animado.

Sin embargo, al igual que muchos de mis contemporáneos, el clímax y era dorada de los dibujos animados comenzó con la llegada masiva del anime a Colombia. Tal vez comenzando con Super campeones (Capitan Tsubasa), pasando por Caballeros de Zodiaco, series épicas e inspiradoras como mi favorita Samurai X (Rouruni Kenshin), o la completamente fuera de juicio Ranma 1/2 y varias otras que pasan y pasaron por la televisión latinoamericana. Pero la verdadera leyenda es, sin lugar a dudas, Dragon Ball, con sus secuelas Dragon Ball Z y GT. Aun hoy es difícil encontrar alguien, menor de 35 años,  que no conozca varios detalles de la serie, y eso la hace un lenguaje casi universal que me ha permitido divertirme con algunos ejemplos y ejercicios en las clases de Física que dirijo.

Este semestre, unas semanas antes un parcial, los estudiantes de la electiva en cuántica relativista se quejaron porque a ellos nos les proponia ejercicios con Goku… así que en el siguiente parcial él fue el protagonista. En una situación que ahora trataré de exponer brevemente, aprovechando la oportunidad para, por primera vez en el blog, formalizar un poco las ideas.

En algún momento de la historia de Dragón Ball Z, Goku decide viajar al planeta Namek (Namekusei), donde su hijo Gohan y su amigo Krilin luchan contra las poderosas fuerzas especiales de Freezer. Goku comprendiendo lo poderosos que son sus contrincantes que decide realizar un fuerte entrenamiento en el trayecto. Para esto, le pide al diseñador de la nave que esta posea un dispositivo para controlar la gravedad experimentada dentro de la nave. En este punto el científico-ingeniero, papá de Bulma, exagera un poco en cuanto a su magnifica invención. Para entender esto basta recordar que los sistemas acelerados son equivalentes a sistemas bajo un campo gravitatorio, como lo hemos experimentado montados en un carro cuando este arranca o frena, o cuando el ascensor arranca. Así, si el ascensor comienza a bajar, una balanza de precisión medirá un peso inferior al que mide en reposo, y si comienza a subir el peso por el contrario será superior. Este es un juego que propongo en clases de Física I para los/las estudiantes que quieran perder o ganar un poco de peso (con la decepción que los kilito, masa, por el contrario siguen siendo los mismos). Entonces, lo único que tiene que hacer la nave en la que viaja Goku para que este experimente una gravedad es acelerar. Este truco, por ejemplo, lo utilizan en la Estación Espacial Internacional para simular las condiciones en la Tierra y evitar problemas fisiológicos en los habitantes temporales.

Goku, siempre radical, decide entrenar casi inmediatamente con una gravedad cien veces la de la Tierra, 100 g.

C-vectores y líneas de mundo

Vamos a describir el viaje de Goku desde el sistema de referencia inercial Tierra. En efecto, como veremos, el movimiento circular de la Tierra es realmente despreciable para un movimiento con aceleración como la de Goku.

Lo primero que debe quedar claro es la necesidad de utilizar relatividad especial y no mecánica newtoniana en el análisis. Para esto consideramos que el viaje de Goku dura al menos unos días, de tal forma que acelerando a 100 g= en un sólo día Goku, según cinemática galileana, clásica, alcanzaría la asombrosa rapidez de , que es aproximadamente la tercera parte de la velocidad de la luz en el vació y que usualmente denotamos como  c. O sea que en tres días, con esta aceleración constante, Goku viajaría a la velocidad de la luz, y al cuarto tendríamos, además de un Super Sayajin, un Sayajin Superlumínico, como nos referimos los físicos a objetos que viajen más rápido que la luz en el vacío. Vemos, entonces, que se trata de un movimiento con velocidades próximas a las de la luz, y que por tanto para poder extraer conclusiones precisas debemos utilizar relatividad de Einstein. En particular el análisis clásico entrega un resultado que entra en contradicción con la velocidad de la luz en el vacío como una velocidad límite.

En relatividad, la simetría entre el espacio y el tiempo hace que sea más conveniente trabajar con vectores que contengan esta información de forma conjunta, lo que llamamos coordenadas espacio temporales. Los objetos que contienen esta información son lo que se denomina cuadri-vectores, o c-vectores para abreviar, cuyas componentes están dadas por

Para nuestro caso consideraremos el movimiento de Goku en una línea recta, que supondremos el eje x, luego nos bastará con c-vectores de dos componentes . Las coordenadas espacio-temporales de Goku van cambiado en el tiempo y pueden ser descritas como funciones de un parámetro arbitrario. En mecánica clásica este parámetro usualmente es el tiempo. Sin embargo, dado el valor relativo del tiempo para cada observador, es conveniente trabajar con un tiempo particular, el cual tome el mismo valor para todo observador o, en otras palabras, que sea un invariante relativista. Este tiempo es el tiempo propio, , o tiempo medido por un reloj que viaja con Goku. Con este se define la c-velocidad, U, y la c-aceleración, A,

que satisfacen las mismas reglas de transformación entre sistemas de referencia inerciales, transformaciones de Lorentz, que cumplen los , o sea también son c-vectores, y aunque sus componentes no coinciden con las velocidades y aceleraciones físicas que medimos en el laboratorio contienen esta información de forma indirecta. En particular la velocidad, , está relacionada con las componentes espaciales de la c-velocidad por

donde , es el famoso factor de dilatación de Lorentz. La c-velocidad y c-aceleración además cumplen las siguientes relaciones:

con c la velocidad de la luz (otro invariante relativista) y  a la aceleración propia del viajero, o sea la aceleración que mide en su nave, que para nuestro caso es 100g. El punto indica el producto punto usual entre vectores. De la definición de estas cantidades, se tiene que las anteriores son un conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales que tiene por solución (en este enlace encuentran un archivo Mathematica con los detalles de este y otros análisis)

donde se han impuesto las condiciones iniciales tales que Goku parte de la Tierra, posición cero, con velocidad inicial nula.

Con la solución encontrada podemos entonces, por ejemplo, graficar cómo va a ser la trayectoria de Goku vista desde la Tierra, o sea, cómo son sus coordenadas espacio temporales durante su viaje, en lo que se denomina diagrama de Minkowki. La gráfica animada en el tiempo deja claro cómo evolucionan en el tiempo -medido por la Tierra- las coordenadas temporales (eje horizontal) y su posición (eje vertical) formando la llamada línea de mundo o línea de universo .

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de una señal de luz (rojo punteado).

Además se han graficado las líneas de mundo de dos señales de luz (línea roja punteada) que salen simultáneamente con Goku, una de estas en dirección opuesta, formando lo que se denomina el cono de luz futuro del evento en que Goku arrancó. La línea roja que corre superpuesta al eje horizontal es la línea de mundo de la Tierra, donde viaja Milk, la esposa de Goku, cuya única coordenada que evoluciona es la temporal. El hecho que la trayectoria de Goku esté dentro del cono de luz está relacionado con el hecho que no es posible viajar, ni enviar información, a velocidades superiores a la de la luz en el vacío.

En este punto podemos notar que el tiempo que mide Goku, , no coincide con el tiempo medido en la Tierra, t, que es el mismo que miden en Namek si consideramos que los planetas están quietos unos con respecto al otro. Esto conduce a que Goku envejece en forma más lenta que los demás, como en la paradoja de los gemelos, pero que no discutiré directamente acá. O sea me centraré en el viaje de ida de Goku, pues el de regreso no sé cómo plantearlo por la dificultades que tengo en formalizar la técnica de teletransportación que Goku utiliza para salir de Namek.

Llamadas espaciales

Esta diferencia de flujo del tiempo, tal vez el resultado más famoso de la relatividad especial y general, puede generarle problemas a Goku en la casa. Por ejemplo supongamos que Milk y Goku quedan en enviarse un saludo, un mensaje de texto digamos, cada día a la media noche en punto. Pero por lo que vemos cuando para Goku es media noche,  , para ella en la Tierra ya ha pasado. Esta diferencia es para el primer saludo es de  20 minutos (como puede verificarse con la relación entre  y t en la solución encontrada), o sea t=12:20 am, algo que seguro no le gustaría a Milk. Como si esto no fuera suficiente, debemos tener también en cuenta que los mensaje no llegan instantáneamente, debido a la separación espacial entre ellos y la velocidad finita de los mensajes, que supondremos viajan a la velocidad de la luz, así que hay otro retraso en el mensaje de Goku. Para evaluar este tiempo de viaje del mensaje determinamos la posición, coordenada x, de Goku cuando su reloj indica la media noche. El resultado es aproximadamente de  0.15 días luz, y nos indica que al mensaje de Goku le tomará, desde ese punto, llegar a la Tierra 0.15 días, aproximadamente  cuatro horas, lo que de seguro enfurecería a la peligrosa Milk que no entiende de telecomunicaciones. La siguiente figura muestra los eventos en el tiempo cuando Goku envía sus saludos y cuando estos llegan a la Tierra, evidenciando el retraso apenas discutido.

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de las señales de luz enviadas cada días por Goku (rojo punteado). Hacer click en caso que la animación no se presente.

Para visualizar mejor donde está Goku utilizamos unidades astronómicas, que es la distancia del Sol a la Tierra. Luego de un día se tiene que Goku está a 25 ua, un poco más acá de Neptuno a unos 30 ua del Sol. A la media noche del segundo día, de Goku se encontrará a unos 100 ua, próximo a abandonar el sistema solar y a alcanzar a la nave Viajero II, hoy en día a 102 ua de la Tierra. Esto también nos da una idea de lo inverosímil que es la máquina y el viaje de Goku, pues a la nave viajero le tomó 36 años llegar allí a una velocidad aproximada de 60 mil kilómetros por hora.

Como puede demostrarse directamente de la expresión para las coordenadas espaciales la línea de mundo de Goku forma una hiperbola en el diagrama de Minkowski, con asíntota una recta paralela al cono de luz, lo que indica que Goku alcanza asintoticamente (en t infinito) la velocidad de la luz. La siguiente gráfica muestra las líneas de mundo para viajeros con distintas aceleraciones, partiendo del infinito acercándose inicialmente a la velocidad de la luz llegando a la Tierra con velocidad cero y continuando su aceleración regresando a infinito, nuevamente con rapidez la velocidad de la luz.

Líneas de mundo para viajeros acelerados partiendo en infinito llegando al origen , la TIerra, con velocidad nula, y continuando su aceleración a=g/5 (nogro), a=g/2 (azul), a=g (verde), a=2 g (amarillo) y a=5 g (naranja). El cono de luz en rojo.

Todas tienen asíntotas paralelas al cono de luz, pero para aceleraciones mayores estas se van acercando al cono como es de esperarse pues adquieren velocidades mayores más rápidamente.

Horizontes de eventos

El hecho que Goku alcance asintóticamente la velocidad de la luz y la imposibilidad de enviar señales a velocidades superiores genera un fenómeno bastante interesante:

Si analizamos la situación de los mensajes que recibe Goku tenemos que él, con un cálculo rápido, pensaría en un principio que los saludos de  Milk van a ser cada vez más frecuentes por la diferencia de flujo de tiempos, sin permitirle entrenar como él quisiera. Sin embargo, si además se tiene en cuenta el retraso de la señal, debido a la distancia que este tiene que recorrer, la situación es muy distinta. En efecto, el hecho que Goku se esté alejando cada vez más rápido, y a velocidades cercanas a la de la luz, hace que a las señales cada vez les tome más tiempo alcanzar a Goku e incluso existe un punto donde cualquier señal enviada desde la Tierra no alcanzará a Goku que prácticamente se está moviendo a la velocidad de la luz. En forma más precisa, cualquier señal que sea enviada a la derecha de la asíntota no alcanzará a Goku pues tendría que viajar más rápido que la luz. A la derecha de la asintota se refiere a tiempos posteriores al punto donde esta corta el eje horizontal, que para una aceleración a está dado por c/a (como también se estimaría por análisis dimensional para una velocidad inicial nula). Para nuestro caso, a=100 g, este tiempo es de alrededor de tres días y medio, lo que indica que el cuarto mensaje de Milk nunca llega su destino, aun si la rapidez de este siempre es superior a la de Goku (como se observa en la siguiente figura), en una situación que asemeja la segunda paradoja de Zenón de Elea hermosamente descrita por Jorge Luis Borges en su escrito Los avatares de la tortuga. 

Linea de mundo de Goku (azul) y la Tierra (rojo), y las señales enviadas por Chichi cada día (rojo punteado).

La situación ante la cual estamos presentes se denomina, por obvias razones, horizonte de eventos, pues sucede que Goku desconoce todo lo que pase en los puntos espacio-temporales a la derecha de su asíntota, ya que, al igual que el cuarto mensaje de Milk, cualquier mensaje que se envíe desde esta zona nunca alcanzará a Goku. Sin embargo, no está desconectado causalmente de estos, pues él sí puede continuar enviando mensajes hacia el exterior y afectar el futuro de estos, por ejemplo con un buen chiste los hará reír.

Una de las consecuencias más impactantes, pero no tan conocidas, de la presencia de horizontes de eventos es el llamado efecto Unrhu que relaciona la teoría de campos vista por dos observadores, uno acelerado y el otro inercial. Este efecto indica, que al contrario de los observadores en la Tierra, Goku verá el universo vacío con una temperatura no nula, lo que los físicos llamamos baño térmico, detectando una radiación. Este efecto muestra una vez más cómo un vacío cuántico es muy distinto a la nada a la que usualmente estamos acostumbrados, e incluso la definición de vacío depende del observador.

El sistema físico más famoso que presenta un horizonte de eventos es un agujero negro. Aunque en este contexto su aparición se explica de otra manera las implicaciones en general son las mismas: las señales de un viajero más allá del horizonte de eventos del agujero negro no pueden cruzarlo a menos que viajen más rápido que la luz. En otras palabras la luz no escapa de este horizonte y por esto no podemos ver el agujero, ni a nuestro amigo que va rumbo a la desgracia.

En este caso el efecto Unruh también se presenta para nosotros, afuera del horizonte de eventos, lo que permite entender en primera instancia el efecto cuántico conocido como radiación de Hawking, descubierta por Stephen Hawking a finales de los setenta, mostrando cómo los agujeros negros se evaporan emitiendo radiación térmica. La radiación Hawking y sus posteriores paradojas condujeron  a uno de los descubrimientos más impactantes de la física en toda su historia, la correspondencia gravedad/teoría de gauge, pero esta no es la publicación para hablar de la radiación Hawking ni de la correspondencia (un abrebocas acá).

Otro sistema donde se presenta un horizonte de evento es en el universo mismo. A finales de la década de los noventas se encontró que nuestro universo no sólo se está expandiendo sino que lo hace aceleradamente (un poco sobre esto y el modelo ΛCDM acá). Esto implica que cada observador tiene un horizonte de eventos y para este parte del universo está continuamente desapareciendo, cuando las galaxias, que se están alejando de él, cruzan este horizonte. Es por esto que comúnmente se habla del universo como un agujero negro invertido.

Aún más

Espero la explicación del horizonte de Goku haya sido lo suficientemente clara para que algún lector ya se haya percatado que no es totalmente cierto lo que expliqué sobre las señales de Milk. En efecto si suponemos que ella continua enviando sus mensajes, sin importar que Goku cada vez se retrase más con los suyos y no responda las preguntas que esta le hace en los suyos, estos mensajes continuarán viajando persiguiendo a Goku. Cuando este llega a Namek debe frenar y en algún momento su velocidad es nula, pues suponemos que Namek está a una distancia fija a la Tierra. En este punto de frenado la línea de mundo de Goku cruza el horizonte que tenia mientras aceleraba y los mensajes comienzan a llegar uno tras otro, así que Goku no se pierde ninguna de las noticias de la Tierra.

Existen gran cantidad de detalles que podemos analizar en el marco de la relatividad especial. Por ejemplo determinar cuanto tiempo, para los amigos de Goku, demoró en llegar a Namek, si para Goku pasó una semana de viaje y entrenamiento. También, sabiendo la duración del viaje, podemos determinar cuanto combustible necesita la nave, si suponemos que esta es de máxima eficiencia, lo que se conoce como naves fotónicas, o similarmente calcular cuanto peso pierde nuestro legendario Super Sayajin cada vez que realiza un Kame Hame Ha, pero mejor dejarlas para otros parciales.

Bibliografía.

[1] Sobre la teoría especial de la relatividad, J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2005.

[2] Relatividad especial [problemas selectos], J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2009.

[3] Classical Electrodynamics, J. D. Jackson,  John Wiley & Son, 1998.

[3] An Introduction to Black Holes, Information And The String Theory Revolution: The Holographic Universe, L. Susskind & J. Lindesay, World Scientific Pub Co Inc, 2004.

Agradecimientos:

Me complace agradecer las juiciosas revisiones, correcciones y comentarios de Catalina Reyes-Suarez y Wilson Gamboa. También los comentarios de Ludving Marenco y Fabian Medina.

Teoría de Cuerdas y Dualidad

La teoría de cuerdas es quizás, la teoría más famosa a nivel divulgativo debido a sus fantásticas implicaciones físicas y las posibilidades que nos propone, como el caso de multiversos  gravitacionales paralelos, extradimensiones y dimensiones compactas, o la posibilidad de unificar todas las interacciones fundamentales bajo una misma teoría. Pero, y más allá de esto, ¿qué nos ofrece la teoría de cuerdas? La respuesta subyace en un concepto tan antiguo como la misma Física, sólo que poco explorado: la dualidad.

¿Y qué es entonces la dualidad en Física? Podemos definir la dualidad como una correspondencia entre dos objetos que, a priori, son diferentes pero  en el fondo son equivalentes. Tal es el caso del electromagnetismo. Antiguamente, conocíamos los efectos generados por cargas estacionarias (que llamamos eléctricos) y por cargas en movimiento (llamados magnéticos) separadamente. Pero tuvimos que esperar hasta finales del siglo XIX para finalmente entender que ambos conceptos eran caras de la misma moneda: no sólo cargas  estacionarias pueden generar efectos eléctricos,  sino cualquier efecto magnético  que no sea estacionario también puede generar efectos eléctricos. De forma similar, efectos eléctricos no estacionarios generan efectos magnéticos. Como consecuencia de este hecho, se comprendió que los campos eléctricos y magnéticos son componentes de un ente mayor, el campo electromagnético, el cual es responsable de la existencia de las ondas electromagnéticas. Por esto decimos que el campo eléctrico y el magnético son duales entre si.  Otro ejemplo de dualidad es el postulado de Louis de Broglie que menciona como una partícula se puede comportar como onda y viceversa.  

¿Y dónde entra la teoría de cuerdas en todo esto?  Pues bien, para dar algo de luz en esta cuestión, debemos entender cómo es  el Universo a un nivel más pequeño que el nanoscópico (microcosmos), además de cómo es en las escalas de  Galaxias y grandes objetos astrofísicos. Está porción del Universo la llamaremos macrocosmos. Finalmente, estableceremos la conexión existente entre los dos.

De nuestras ideas básicas de física, sabemos que el átomo ésta compuesto de electrones en la periferia, y de protones y neutrones en el núcleo (a los que llamaremos nucleones). El electrón es una partícula tan pequeña comparada con sus vecinos nucleares (casi dos mil veces mas pequeño). Decimos además que es fundamental, es decir, no tiene constituyentes. Pero, en el caso de los nucleones, si encontramos constituyentes. Estos constituyentes se llaman quarks y gluones.  Dicho de otro modo, si lográsemos meternos al interior del núcleo y observásemos con detenimiento no veríamos nucleones  definidos, sino que veríamos una sopa de quarks y gluones que interactúan entre sí tratando de mantener el núcleo atómico armado. A esta interacción que mantiene el núcleo unido se le llama interacción fuerte. Solamente cuando logramos romper el núcleo es que estos quarks y gluones se configuran para formar un nucleón (o dependiendo de qué tan duro se les golpee, otro tipo de partículas compuestas). Esta dinámica de quarks y gluones se le llama cromodinámica cuántica o QCD por sus siglas en inglés.   La QCD es una teoría cuántica, es decir, los quarks y gluones sólo pueden estar en determinadas configuraciones al interior del núcleo, según la energía, momentum angular y demás propiedades que cada cual tenga.

Ya sabemos, en teoría, como es el reino nuclear. Pero aún nos falta entender como es el mundo de más arriba. El macrocosmos está regido por la Teoría General de la Relatividad. Esta teoría nos habla sobre la gravedad. En la Relatividad, el espacio tiempo (que es donde vivimos) adquiere un sentido geométrico, ya que la interacción de la materia con este tejido espacio temporal genera la gravedad. Cuanto más masivo sea un cuerpo, mayor será la curvatura que hace sobre el tejido espacio temporal, y por ende, mayor será su gravedad.  La Relatividad General  es una teoría que  no es cuántica en el sentido que mencionamos antes. Es más, es imposible cuantizarla debido a la complejidad matemática de la misma.

Han existido intentos de gravedad cuántica poco exitosos que no reproducen los resultados conocidos. Esto ha creado una imposibilidad a la hora de escribir  la gravedad en una forma similar a la interacción fuerte. Es bueno mencionar que las otras dos interacciones  fundamentales conocidas, la interacción débil y la interacción electromagnética, admiten descripciones cuánticas.  Estas teorías con descripción cuántica se basan en la existencia de partículas puntuales (¡puntos sin dimensión!) como objetos fundamentales. Lamentablemente, esta descripción en términos de puntos no es aplicable a la gravedad, de allí que no se pueda cuantizar. De hecho, la descripción en terminos de objetos puntuales ha traido consigo problemas delicados a las teorias de campos tal como la existencia de infinitos no deseables en la teoría.

Cuando cambiamos la idea de considerar puntos a  considerar cuerdas (que pueden ser cerradas o abiertas) como objetos fundamentales, la gravedad se deja cuantizar, y es más, las demás teorías cuánticas de campos aparecen como los modos de vibración de las cuerdas fundamentales en forma natural.   A esta teoría la llamamos teoría de cuerdas.  Otro aspecto favorable es que la teoría de cuerdas no tienen infinitos extraños como si lo hacen sus homólogas de de campos.

Todo este camino para llegar a este punto: Palabras más, palabras menos, hemos dicho como la teoría de cuerdas (que es una teoría de gravedad) está conectada con las teorías cuánticas de campos (que describen interacciones de puntos). Esto es, en cierto modo,  un atisbo de dualidad.

En 1997, el físico teórico argentino Juan Maldacena llevó al siguiente nivel está idea de dualidad al decir que si una teoría de gravedad (cuerdas)  vive al interior de algún espacio tiempo, en la frontera del mismo se generará una teoría de campos que es dual a la teoría de gravedad. En otras palabras, una teoría de cuerdas y una de campos en la frontera del espacio donde viven son equivalentes. Esta conjetura es una realización del conocido Principio Holográfico de L. Susskind. A este desarrollo se le dio el nombre  de  dualidad Gravedad/Teorías de Campos o dualidad  Gravedad/Gauge como se le conoce en el mundo de la Física de Cuerdas.

La dualidad Gravedad/Gauge es entonces la conexión entre la teoría de QCD y la Relatividad General que tanto se buscó en el pasado.  Pero esta dualidad no solo se queda a nivel de sistemas de nucleones o sistemas gobernados por QCD. Todos los sistemas físicos nanométricos pueden ser descritos en teminos de teorías de campos. Lo único que cambia es la interpretación que se le de al campo. Por ejemplo, en el caso de la Superconductvidad, el campo responsable de la misma se le llama par de Cooper; o en el caso de  las vibraciones cuánticas de un cristal, la partícula asociada se le conoce como fonón.  Por lo tanto, cualquier problema físico escrito en el lenguaje de la teoría de campos podría ser solucionado  aplicando la Correspondencia.  En este sentido, la teoría de Cuerdas ha cumplido con uno de sus objetivos iniciales: ser una teoría capaz de describirlo todo.