Avatares de un Super Sayajin relativista: horizontes de eventos.

Como buen niño citadino crecí en gran parte influenciado por la televisión. Afortunadamente contaba en esa época con progamas que recuerdo con mucha nostalgía y que difícilmente hoy tienen algún paragón en la televisión privada. Unos ejemplos son matemáticas 1,2,3 con Nico y Tap, y Ciencias para Niños, que fueron parte de mis primeros pinitos con las matemáticas y los experimentos en casa.  Apenas recuerdo cuantos juguetes hice, muchos un fracaso absoluto, reproduciendo los hechos por los hermanos Pico, Kika y su amigo Taro, que era el más pilo. Como las mariposas levitantes  con imanes y los cohetes con rollos de papel higiénico y bandas elásticas. Hoy me esfuerzo por recordar estos programas para jugar con mis hijos y divertirnos de otra forma.

Claro que también recuerdo con cariño a Bugs Bunny y sus amigos de la Warner Bross, en particular al Coyote. Creo que todos los que hemos visto al Coyote en acción decimos “uff claro, a mí también se me habia ocurrido algo parecido”, y luego también nos preguntamos “¿De donde saca el dinero?”. El pensamiento final siempre es “rayos otra vez se escapó”. Bueno en realidad yo siempre pensaba “¡INTÉNTELO DE NUEVO!” porque muchas veces estaba tan cerquita de lograrlo que era una pena que no corrigiera sus cálculos y errores.

Aveces también quedaba en duda sobre qué tanto de lo que aparecía podía ser posible…  y en estos royos aún ando cada vez que veo un dibujo animado.

Sin embargo, al igual que muchos de mis contemporáneos, el clímax y era dorada de los dibujos animados comenzó con la llegada masiva del anime a Colombia. Tal vez comenzando con Super campeones (Capitan Tsubasa), pasando por Caballeros de Zodiaco, series épicas e inspiradoras como mi favorita Samurai X (Rouruni Kenshin), o la completamente fuera de juicio Ranma 1/2 y varias otras que pasan y pasaron por la televisión latinoamericana. Pero la verdadera leyenda es, sin lugar a dudas, Dragon Ball, con sus secuelas Dragon Ball Z y GT. Aun hoy es difícil encontrar alguien, menor de 35 años,  que no conozca varios detalles de la serie, y eso la hace un lenguaje casi universal que me ha permitido divertirme con algunos ejemplos y ejercicios en las clases de Física que dirijo.

Este semestre, unas semanas antes un parcial, los estudiantes de la electiva en cuántica relativista se quejaron porque a ellos nos les proponia ejercicios con Goku… así que en el siguiente parcial él fue el protagonista. En una situación que ahora trataré de exponer brevemente, aprovechando la oportunidad para, por primera vez en el blog, formalizar un poco las ideas.

En algún momento de la historia de Dragón Ball Z, Goku decide viajar al planeta Namek (Namekusei), donde su hijo Gohan y su amigo Krilin luchan contra las poderosas fuerzas especiales de Freezer. Goku comprendiendo lo poderosos que son sus contrincantes que decide realizar un fuerte entrenamiento en el trayecto. Para esto, le pide al diseñador de la nave que esta posea un dispositivo para controlar la gravedad experimentada dentro de la nave. En este punto el científico-ingeniero, papá de Bulma, exagera un poco en cuanto a su magnifica invención. Para entender esto basta recordar que los sistemas acelerados son equivalentes a sistemas bajo un campo gravitatorio, como lo hemos experimentado montados en un carro cuando este arranca o frena, o cuando el ascensor arranca. Así, si el ascensor comienza a bajar, una balanza de precisión medirá un peso inferior al que mide en reposo, y si comienza a subir el peso por el contrario será superior. Este es un juego que propongo en clases de Física I para los/las estudiantes que quieran perder o ganar un poco de peso (con la decepción que los kilito, masa, por el contrario siguen siendo los mismos). Entonces, lo único que tiene que hacer la nave en la que viaja Goku para que este experimente una gravedad es acelerar. Este truco, por ejemplo, lo utilizan en la Estación Espacial Internacional para simular las condiciones en la Tierra y evitar problemas fisiológicos en los habitantes temporales.

Goku, siempre radical, decide entrenar casi inmediatamente con una gravedad cien veces la de la Tierra, 100 g.

C-vectores y líneas de mundo

Vamos a describir el viaje de Goku desde el sistema de referencia inercial Tierra. En efecto, como veremos, el movimiento circular de la Tierra es realmente despreciable para un movimiento con aceleración como la de Goku.

Lo primero que debe quedar claro es la necesidad de utilizar relatividad especial y no mecánica newtoniana en el análisis. Para esto consideramos que el viaje de Goku dura al menos unos días, de tal forma que acelerando a 100 g=1000 m/s^2 en un sólo día Goku, según cinemática galileana, clásica, alcanzaría la asombrosa rapidez de 8.64 \times 10^7m/s, que es aproximadamente la tercera parte de la velocidad de la luz en el vació y que usualmente denotamos como  c. O sea que en tres días, con esta aceleración constante, Goku viajaría a la velocidad de la luz, y al cuarto tendríamos, además de un Super Sayajin, un Sayajin Superlumínico, como nos referimos los físicos a objetos que viajen más rápido que la luz en el vacío. Vemos, entonces, que se trata de un movimiento con velocidades próximas a las de la luz, y que por tanto para poder extraer conclusiones precisas debemos utilizar relatividad de Einstein. En particular el análisis clásico entrega un resultado que entra en contradicción con la velocidad de la luz en el vacío como una velocidad límite.

En relatividad, la simetría entre el espacio y el tiempo hace que sea más conveniente trabajar con vectores que contengan esta información de forma conjunta, lo que llamamos coordenadas espacio temporales. Los objetos que contienen esta información son lo que se denomina cuadri-vectores, o c-vectores para abreviar, cuyas componentes están dadas por

x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct, x,y,z)\,.

Para nuestro caso consideraremos el movimiento de Goku en una línea recta, que supondremos el eje x, luego nos bastará con c-vectores de dos componentes x^\mu=(ct, x). Las coordenadas espacio-temporales de Goku van cambiado en el tiempo y pueden ser descritas como funciones de un parámetro arbitrario. En mecánica clásica este parámetro usualmente es el tiempo. Sin embargo, dado el valor relativo del tiempo para cada observador, es conveniente trabajar con un tiempo particular, el cual tome el mismo valor para todo observador o, en otras palabras, que sea un invariante relativista. Este tiempo es el tiempo propio, \tau, o tiempo medido por un reloj que viaja con Goku. Con este se define la c-velocidad, U, y la c-aceleración, A,

U^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial \tau}\,,~~~~~A^\mu=\frac{\partial U^\mu}{\partial \tau}\,,

que satisfacen las mismas reglas de transformación entre sistemas de referencia inerciales, transformaciones de Lorentz, que cumplen los x^\mu, o sea también son c-vectores, y aunque sus componentes no coinciden con las velocidades y aceleraciones físicas que medimos en el laboratorio contienen esta información de forma indirecta. En particular la velocidad, \vec v, está relacionada con las componentes espaciales de la c-velocidad por

\vec U=(U^1,U^2,U^3)=\gamma(|\vec v|)\vec v\,,

donde \gamma(|\vec v|)=(1-v^2/c^2)^{-1/2} , es el famoso factor de dilatación de Lorentz. La c-velocidad y c-aceleración además cumplen las siguientes relaciones:

A^0 U^0-\vec A\cdot \vec U=0\,,~~~U^0U^0-\vec U\cdot \vec U=c^2\,,~~~ A^0A^0-\vec A\cdot \vec A=-a^2\,,

con c la velocidad de la luz (otro invariante relativista) y  a la aceleración propia del viajero, o sea la aceleración que mide en su nave, que para nuestro caso es 100g. El punto indica el producto punto usual entre vectores. De la definición de estas cantidades, se tiene que las anteriores son un conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales que tiene por solución (en este enlace encuentran un archivo Mathematica con los detalles de este y otros análisis)

x^\mu= (c\, t, x)=\frac{c^2}{a}\left( Sinh\left(a\tau/c\right),Cosh\left(a\tau/c\right)-1\right)\,,

donde se han impuesto las condiciones iniciales tales que Goku parte de la Tierra, posición cero, con velocidad inicial nula.

Con la solución encontrada podemos entonces, por ejemplo, graficar cómo va a ser la trayectoria de Goku vista desde la Tierra, o sea, cómo son sus coordenadas espacio temporales durante su viaje, en lo que se denomina diagrama de Minkowki. La gráfica animada en el tiempo deja claro cómo evolucionan en el tiempo -medido por la Tierra- las coordenadas temporales (eje horizontal) y su posición (eje vertical) formando la llamada línea de mundo o línea de universo .

Línea de mundo de Goku (azu)l, de la Tierra (rojo) y de una señal de luz (rojo punteado).

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de una señal de luz (rojo punteado).

Además se han graficado las líneas de mundo de dos señales de luz (línea roja punteada) que salen simultáneamente con Goku, una de estas en dirección opuesta, formando lo que se denomina el cono de luz futuro del evento en que Goku arrancó. La línea roja que corre superpuesta al eje horizontal es la línea de mundo de la Tierra, donde viaja Milk, la esposa de Goku, cuya única coordenada que evoluciona es la temporal. El hecho que la trayectoria de Goku esté dentro del cono de luz está relacionado con el hecho que no es posible viajar, ni enviar información, a velocidades superiores a la de la luz en el vacío.

En este punto podemos notar que el tiempo que mide Goku, \tau, no coincide con el tiempo medido en la Tierra, t, que es el mismo que miden en Namek si consideramos que los planetas están quietos unos con respecto al otro. Esto conduce a que Goku envejece en forma más lenta que los demás, como en la paradoja de los gemelos, pero que no discutiré directamente acá. O sea me centraré en el viaje de ida de Goku, pues el de regreso no sé cómo plantearlo por la dificultades que tengo en formalizar la técnica de teletransportación que Goku utiliza para salir de Namek.

Llamadas espaciales

Esta diferencia de flujo del tiempo, tal vez el resultado más famoso de la relatividad especial y general, puede generarle problemas a Goku en la casa. Por ejemplo supongamos que Milk y Goku quedan en enviarse un saludo, un mensaje de texto digamos, cada día a la media noche en punto. Pero por lo que vemos cuando para Goku es media noche,  \tau=12am, para ella en la Tierra ya ha pasado. Esta diferencia es para el primer saludo es de  20 minutos (como puede verificarse con la relación entre \tau y t en la solución encontrada), o sea t=12:20 am, algo que seguro no le gustaría a Milk. Como si esto no fuera suficiente, debemos tener también en cuenta que los mensaje no llegan instantáneamente, debido a la separación espacial entre ellos y la velocidad finita de los mensajes, que supondremos viajan a la velocidad de la luz, así que hay otro retraso en el mensaje de Goku. Para evaluar este tiempo de viaje del mensaje determinamos la posición, coordenada x, de Goku cuando su reloj indica la media noche. El resultado es aproximadamente de  0.15 días luz, y nos indica que al mensaje de Goku le tomará, desde ese punto, llegar a la Tierra 0.15 días, aproximadamente  cuatro horas, lo que de seguro enfurecería a la peligrosa Milk que no entiende de telecomunicaciones. La siguiente figura muestra los eventos en el tiempo cuando Goku envía sus saludos y cuando estos llegan a la Tierra, evidenciando el retraso apenas discutido.

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de las señales de luz enviadas cada días por Goku (rojo punteado).

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de las señales de luz enviadas cada días por Goku (rojo punteado). Hacer click en caso que la animación no se presente.

Para visualizar mejor donde está Goku utilizamos unidades astronómicas, que es la distancia del Sol a la Tierra. Luego de un día se tiene que Goku está a 25 ua, un poco más acá de Neptuno a unos 30 ua del Sol. A la media noche del segundo día, de Goku se encontrará a unos 100 ua, próximo a abandonar el sistema solar y a alcanzar a la nave Viajero II, hoy en día a 102 ua de la Tierra. Esto también nos da una idea de lo inverosímil que es la máquina y el viaje de Goku, pues a la nave viajero le tomó 36 años llegar allí a una velocidad aproximada de 60 mil kilómetros por hora.

Como puede demostrarse directamente de la expresión para las coordenadas espaciales la línea de mundo de Goku forma una hiperbola en el diagrama de Minkowski, con asíntota una recta paralela al cono de luz, lo que indica que Goku alcanza asintoticamente (en t infinito) la velocidad de la luz. La siguiente gráfica muestra las líneas de mundo para viajeros con distintas aceleraciones, partiendo del infinito acercándose inicialmente a la velocidad de la luz llegando a la Tierra con velocidad cero y continuando su aceleración regresando a infinito, nuevamente con rapidez la velocidad de la luz.

Líneas de mundo para viajeros acelerados partiendo en infinito llegando al origen , la TIerra, con velocidad nula, y continuando su aceleración a=g/5 (nogro), a=g1/2 (azul), a=g (verde), a=2 g (amarillo) y a=5g (naranja). El cono de luz en rojo.

Líneas de mundo para viajeros acelerados partiendo en infinito llegando al origen , la TIerra, con velocidad nula, y continuando su aceleración a=g/5 (nogro), a=g/2 (azul), a=g (verde), a=2 g (amarillo) y a=5 g (naranja). El cono de luz en rojo.

Todas tienen asíntotas paralelas al cono de luz, pero para aceleraciones mayores estas se van acercando al cono como es de esperarse pues adquieren velocidades mayores más rápidamente.

Horizontes de eventos

El hecho que Goku alcance asintóticamente la velocidad de la luz y la imposibilidad de enviar señales a velocidades superiores genera un fenómeno bastante interesante:

Si analizamos la situación de los mensajes que recibe Goku tenemos que él, con un cálculo rápido, pensaría en un principio que los saludos de  Milk van a ser cada vez más frecuentes por la diferencia de flujo de tiempos, sin permitirle entrenar como él quisiera. Sin embargo, si además se tiene en cuenta el retraso de la señal, debido a la distancia que este tiene que recorrer, la situación es muy distinta. En efecto, el hecho que Goku se esté alejando cada vez más rápido, y a velocidades cercanas a la de la luz, hace que a las señales cada vez les tome más tiempo alcanzar a Goku e incluso existe un punto donde cualquier señal enviada desde la Tierra no alcanzará a Goku que prácticamente se está moviendo a la velocidad de la luz. En forma más precisa, cualquier señal que sea enviada a la derecha de la asíntota no alcanzará a Goku pues tendría que viajar más rápido que la luz. A la derecha de la asintota se refiere a tiempos posteriores al punto donde esta corta el eje horizontal, que para una aceleración a está dado por c/a (como también se estimaría por análisis dimensional para una velocidad inicial nula). Para nuestro caso, a=100 g, este tiempo es de alrededor de tres días y medio, lo que indica que el cuarto mensaje de Milk nunca llega su destino, aun si la rapidez de este siempre es superior a la de Goku (como se observa en la siguiente figura), en una situación que asemeja la segunda paradoja de Zenón de Elea hermosamente descrita por Jorge Luis Borges en su escrito Los avatares de la tortuga

Linea de mundo de Goku (azul) y la Tierra (rojo), y las señales enviadas por Chichi cada día (rojo punteado).

Linea de mundo de Goku (azul) y la Tierra (rojo), y las señales enviadas por Chichi cada día (rojo punteado).

La situación ante la cual estamos presentes se denomina, por obvias razones, horizonte de eventos, pues sucede que Goku desconoce todo lo que pase en los puntos espacio-temporales a la derecha de su asíntota, ya que, al igual que el cuarto mensaje de Milk, cualquier mensaje que se envíe desde esta zona nunca alcanzará a Goku. Sin embargo, no está desconectado causalmente de estos, pues él sí puede continuar enviando mensajes hacia el exterior y afectar el futuro de estos, por ejemplo con un buen chiste los hará reír.

Una de las consecuencias más impactantes, pero no tan conocidas, de la presencia de horizontes de eventos es el llamado efecto Unrhu que relaciona la teoría de campos vista por dos observadores, uno acelerado y el otro inercial. Este efecto indica, que al contrario de los observadores en la Tierra, Goku verá el universo vacío con una temperatura no nula, lo que los físicos llamamos baño térmico, detectando una radiación. Este efecto muestra una vez más cómo un vacío cuántico es muy distinto a la nada a la que usualmente estamos acostumbrados, e incluso la definición de vacío depende del observador.

El sistema físico más famoso que presenta un horizonte de eventos es un agujero negro. Aunque en este contexto su aparición se explica de otra manera las implicaciones en general son las mismas: las señales de un viajero más allá del horizonte de eventos del agujero negro no pueden cruzarlo a menos que viajen más rápido que la luz. En otras palabras la luz no escapa de este horizonte y por esto no podemos ver el agujero, ni a nuestro amigo que va rumbo a la desgracia.

En este caso el efecto Unruh también se presenta para nosotros, afuera del horizonte de eventos, lo que permite entender en primera instancia el efecto cuántico conocido como radiación de Hawking, descubierta por Stephen Hawking a finales de los setenta, mostrando cómo los agujeros negros se evaporan emitiendo radiación térmica. La radiación Hawking y sus posteriores paradojas condujeron  a uno de los descubrimientos más impactantes de la física en toda su historia, la correspondencia gravedad/teoría de gauge, pero esta no es la publicación para hablar de la radiación Hawking ni de la correspondencia (un abrebocas acá).

Otro sistema donde se presenta un horizonte de evento es en el universo mismo. A finales de la década de los noventas se encontró que nuestro universo no sólo se está expandiendo sino que lo hace aceleradamente (un poco sobre esto y el modelo ΛCDM acá). Esto implica que cada observador tiene un horizonte de eventos y para este parte del universo está continuamente desapareciendo, cuando las galaxias, que se están alejando de él, cruzan este horizonte. Es por esto que comúnmente se habla del universo como un agujero negro invertido.

Aún más

Espero la explicación del horizonte de Goku haya sido lo suficientemente clara para que algún lector ya se haya percatado que no es totalmente cierto lo que expliqué sobre las señales de Milk. En efecto si suponemos que ella continua enviando sus mensajes, sin importar que Goku cada vez se retrase más con los suyos y no responda las preguntas que esta le hace en los suyos, estos mensajes continuarán viajando persiguiendo a Goku. Cuando este llega a Namek debe frenar y en algún momento su velocidad es nula, pues suponemos que Namek está a una distancia fija a la Tierra. En este punto de frenado la línea de mundo de Goku cruza el horizonte que tenia mientras aceleraba y los mensajes comienzan a llegar uno tras otro, así que Goku no se pierde ninguna de las noticias de la Tierra.

Existen gran cantidad de detalles que podemos analizar en el marco de la relatividad especial. Por ejemplo determinar cuanto tiempo, para los amigos de Goku, demoró en llegar a Namek, si para Goku pasó una semana de viaje y entrenamiento. También, sabiendo la duración del viaje, podemos determinar cuanto combustible necesita la nave, si suponemos que esta es de máxima eficiencia, lo que se conoce como naves fotónicaso similarmente calcular cuanto peso pierde nuestro legendario Super Sayajin cada vez que realiza un Kame Hame Hapero mejor dejarlas para otros parciales.

Bibliografía.

[1] Sobre la teoría especial de la relatividad, J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2005.

[2] Relatividad especial [problemas selectos], J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2009.

[3] Classical Electrodynamics, J. D. Jackson,  John Wiley & Son, 1998.

[3] An Introduction to Black Holes, Information And The String Theory Revolution: The Holographic Universe, L. Susskind & J. Lindesay, World Scientific Pub Co Inc, 2004.

Agradecimientos:

Me complace agradecer las juiciosas revisiones, correcciones y comentarios de Catalina Reyes-Suarez y Wilson Gamboa. También los comentarios de Ludving Marenco y Fabian Medina.

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6 pensamientos en “Avatares de un Super Sayajin relativista: horizontes de eventos.

  1. Hola, mis comentarios:

    Hace poco leí una opinión de alguien sobre la relación de Borges y la ciencia, y la cantidad de veces que lo citaban, pero no me la creía. Alguien que se dedica tanto a la ciencia como al estudio del escritor mencionado, decía:

    … “Estoy seguro que de los poetas, por lejos, es el más citado entre los científicos. Pero cuando le dije esto, me contestó que le parecía raro, porque lo único que el sabía de física era lo que le había enseñado su padre cuando le mostró un barómetro. Le conté sobre esas citas, y su respuesta fue: “mire, qué imaginativos los científicos”….

    De otra parte, me parece fff ormidable que utilice DBZ para los parciales, pero me parecería más fff ormidable si lo utilizara en los talleres… y lástima que no se pueda utilizar este tipo de cosas en otros temas, o eso es lo que me parece.

    Para terminar; días después de este parcial, alguien me dijo cuál era la respuesta!! Creo que usted ya le había contado de este parcial a otro grupo….

    saludos

    • Hola Fama,

      gracias por el comentario,

      Sí, DBZ también va en los talleres… no en los de RQM porque es la primera vez que la guío, pero en otras sí, junto con el coyote, Spiderman y otros amigos.

      No entendí el final… lo conozco?
      No entiendo porque además la respuesta al parcial estaba en el parcial, sólo tocaba justificarla y analizarla. Luego todos los que tomaron el parcial ya sabían la respuesta. Tampoco entendí lo de otro grupo…

      saludos,

      D.

      • Pues menos mal…

        Y no sé si se podría hacer esto con otros temas (sé que se puede con algunos como lo he visto) quizás sea cuestión de estudiar más o de ver más DBZ. Se me olvidaba decir que mi hermana es fanática a DBZ y supongo sus amigos también… deberían ensayar esto en los colegios, y en otros lugares.

        saludos

    • Hola Juan,

      gracias por el comentario…

      Supongamos que la fusión es un estado cuántico y los estados Goku (Vivo) y Vegeta (Muerto) son una base del espacio de Hilbert. Entonces tenemos que Gogeta es un estado que es la superposición coherente de estos dos, con probabilidades iguales que, luego de realizar una medición (que podría ser un ataque), resulte Muerto o Vivo.

      ahí mas o menos, tocaría elaborar 😉

  2. Pingback: Gravity en orbita | Física Muisca

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