La gravedad y la luz: cuando recto no es lo correcto

Está por finalizar el ”Año internacional de luz” que  además de conmemorar el aniversario de varios eventos de relevancia científica y tecnológica relacionados con la luz, busca recalcar en el consciente de la sociedad cómo la luz ha sido, es y seguramente será fuente de bienestar, inspiración y creación en la humanidad. Simultáneamente celebramos los cien años de publicación en su forma final de la relatividad general de Einstein, la cual generaliza las conclusiones de la relatividad especial al incluir la gravitación. Es interesante notar que la elegancia de la teoría propuesta por Einstein le valió su fama a pesar que durante unas cuatro décadas se le considerara un área árida de la física con ninguna aplicación en la vida diaria e incluso en las observaciones cosmológicas. En la década del sesenta, con mejores métodos de medición y de telecomunicación esto comenzó a cambiar y hoy por hoy sabemos que la relatividad general impacta desde los sistemas de posicionamiento global hasta las observaciones de precisión del cosmos.

La idea fundamental de la teoría nos indica que el espacio-tiempo, que es donde nos movemos, debido a la gravedad es dinámico y flexible, y en particular las líneas rectas no simpre son como las dibujamos en el cuaderno. Para ser más precisos podemos utilizar un rayo de luz como la definición de línea recta, un comportamiento bien familiar para todos.

Show laser

Show Laser. Los rayos laser siguen trayectorias claramente rectas.

La luz al pasar de un medio a otro sufre cambios en su velocidad de propagación. Esto se refleja en un ángulo de desviación de su trayectoria original.

También conocemos que esta trayectoria se dobla cuando pasa de un medio a otro, en lo que llamamos refracción, debido a un cambio en la velocidad de propagación de la luz en distintos medios. Fenómeno que permite que funcionen desde los pequeños lentes del microscopio hasta los gigantes de los telescopios espaciales. Bien, pero mientras la luz este en el vacío, o en un sólo medio, es de conocimiento común que el puntero Laser forma una línea recta. Ahora bien, supongamos que un rayo de luz se propagaba horizontalmente dentro de un sistema acelerado hacia arriba. Un observador fuera del sistema verá que el rayo golpea la pared en un punto inferior a la horizontal debido a que el sistema sube aceleradamente. Un observador adentro coincide con el anterior pero su explicación es que la luz va experimentando un cambio en su velocidad vertical de modo que su trayectoria se va inclinando cada vez más y lo que observamos dentro de este sistema acelerado dista de las líneas rectas que estamos acostumbrados. Claro está que para observar estos efectos la aceleración debe ser increíblemente grande o las distancias enormes para percibir esta curva.

Al acelerar hacia arriba la trayectoria de la luz se ve inclinada hacia abajo.

Al acelerar hacia arriba la trayectoria de la luz se ve inclinada hacia abajo.

Dos personas caminando desde el ecuador hacia el norte piensan, al principio que nunca se cruzarán. La curvatura del espacio hace que aun siendo paralelas se intercepten.

Los espacios a los que nuestro cerebro se ha adaptado son espacio donde por ejemplo las líneas rectas paralelas no se cruzan, y eso ya lo formalizaron los antiguos griegos y por esto los llamamos espacios euclidianos o planos. En estos espacio además suceden cosas como el teorema de Tales o que la suma de los ángulo internos de un triangulo sea 180 grados, pero es posible pensar en espacios donde esto no ocurra y que denominamos espacios curvos. Por ejemplo en la superficie del globo terráqueo podemos dibujar líneas rectas paralelas, que llamamos meridianos, las cuales son paralelas a la altura del ecuador pero que se cruzan en los polos. O el triangulo mostrado en la figura vemos que la suma de ángulos es 90+90+90=270 grados. Lo interesante es que para alguien que sólo tenga información local del globo terráqueo, como nosotros cuyo campo de visión no es más allá de unas decenas de kilómetros estas dos rectas no se cruzarán. Así se dice que todo espacio curvo localmente se comporta como uno plano, y por ejemplo el teorema de tales se sigue satisfaciendo aproximadamente mientras tomemos rectas y triángulos  suficientemente pequeñas.

El punto crucial ahora es retomar el teorema de equivalencia que ya alguna vez discutimos que permite concluir que el mismo comportamiento observado en el sistema acelerado tendrá la luz en un campo gravitatorio, o sea ¡la gravedad implica que el espacio-tiempo es curvo! De ahí que usualmente se diga que gravedad es equivalente a geometría del espacio-tiempo.

Este fenómeno nos da también una idea de lo que debemos hacer si queremos comprobar esta teoría. Debemos observar, y si es posible medir, este efecto el cual se revelerá cómo un corrimiento entre la imagen aparente de un cuerpo y su posición real cuando la luz que este proyecta pasa cerca a un cuerpo que deforma el espacio tiempo de forma considerable, justo como ocurre cuando tratamos de dar en un blanco que está bajo la superficie de la agua.

Imagen distorsionada debido a la refracción.

La imagen del objeto se ve corrida de su posición original debido a la desviación que sufre la luz. En este caso por refracción.

En este caso será la imagen de las estrellas lejanas al pasar cerca a una estrella cercana, como el Sol.

 

La curvatura generad por la masa del Sol desvía la luz proveniente de una estrella cambiando su posición aparente.

La curvatura generada por la masa del Sol desvía la luz proveniente de una estrella cambiando su posición aparente.

starlight2

Analisis dimensional y ángulos desviación de la luz

Para poder estimar cuanto se desvia un rayo de luz al pasar cerca a una masa esférica como el Sol podemos utilizar análisis dimensional. En pocas palabras el análisis dimensional tiene en mente que, cuando cuantificamos el universo,  además de los valores existe otra propiedad que distingue entre las cantidades medidas. Así distinguimos una medida de tiempo de una de distancia y decimos que son cantidades básicas .  Existen también cantidades que son derivadas de estas como la velocidad

\text{Velocidad}= \frac{\text{Distancia}}{\text{Tiempo}}\,.

De este modo se tiene que dos cantidades pueden ser iguales sólo si las dimensiones -veces que aparecen las cantidades básicas- de tiempo y distancia son iguales. Por ejemplo, el tiempo que me toma en llegar al supermercado puede ser directamente proporcional a la distancia que me separa de este,  e inversamente proporcional a la velocidad con que me muevo

t\propto\frac{L}{V}\,,

pues en ambos lados las dimensiones son iguales, algo que denotamos utilizando los paréntesis cuadrados:

[t]=\left[\frac{L}{V}\right]=\frac{\left[ L\right]}{\left[ V\right]}=\frac{Distancia}{\frac{Distancia}{Tiempo}}=Tiempo\,.

En la anterior debemos notar que utilizamos el simbolo \propto que denota proporcionalidad, que nos indica que existen cantidades numéricas que no conocemos pero que de todas maneras no afectan el análisis dimensional pues no tienen dimensiones, que llamamos cantidades adimensionales. Para nuestro análisis necesitaremos una cantidad básica más, la masa, con la cuál podemos construir las fuerzas. Utilizando la segunda ley de Newton F=m a -la magnitud de la fuerza aplicada sobre un cuerpo está dada por la multiplicación de la masa del cuerpo y la aceleración que este experimenta- se tiene que las dimensiones de fuerza son,

[F]=[m a]=[m]\cdot[a]=\frac{Masa\cdot Distancia}{Tiempo^2}\,.

Por otro lado nos interesa calcular un ángulo de desviación, que es una cantidad sin dimensiones, pues los ángulos, \theta, pueden entenderse como la distancia barrida por el giro, L_b, dividida por la distancia al centro de giro, R_g:

[\theta]=\frac{[L_b]}{[R_g]}=\frac{\text{Distancia}}{\text{Distancia}}=1=\text{Sin dimensiones}\,.

Cabe mencionar que los ángulos definidos de este modo tienen un valor dado en unidades de radianes. Por ejemplo, el ángulo barrido por el radio de un círculo en una circunferencia, es

\frac{Perimetro}{Radio}=2\pi radianes\,,

de la bien conocida formula para el perímetro del círculo.

En conclusión, si queremos obtener el ángulo de desviación debemos construir, a partir de posibles cantidades involucradas en el fenómeno, una cantidad sin dimensiones.

Ángulo de desviación de la luz por un cuerpo esférico

Para proceder debemos identificar primero los posibles parámetros – cantidades- que pueden aparecer en este fenómeno. Para esto recordemos que aunque la gravedad de Einstein es una generalización de la de Newton aun debe reducirse a la ley universal de la gravitación en en las situaciones que esta es aun precisa. Para esta tenemos que la fuerza experimentada por dos cuerpos esféricos está dada por

F= G \frac{M m}{r^2}\,,

con M y m las masas de los cuerpos, r la distancia del centro de uno al centro del otro y G la constante universal que determina la intensidad de esta interacción y además fija las dimensiones de tal forma que a ambos lados de la ecuación obtengamos una cantidad con dimensiones de fuerza.

Tenemos, entonces, que el ángulo que buscamos debe depender de la masa del cuerpo y de la constante universal. También de la distancia, pero en el caso que se trata de una trayectoria donde la distancia esta cambiando continuamente no es claro qué distancia debemos utilizar. Una distancia característica de la trayectoria es la distancia mínima a la que pasa el rayo de luz, y que denotamos d. Otra distancia posible sería el radio de la masa esférica, sin embargo, para la gravitación los efectos de una masa esférica son los mismos que los debidos a una masa puntual, o sea de radio nulo, donde se concentra toda la masa. Por lo menos para los fenómenos que ocurren más allá del radio de la masa esférica. Así que la única distancia disponible es d. Ahora bien, con la luz no tenemos una masa, de hecho los fotones, partículas de luz, no tienen masa. Sin embargo, tenemos una propiedad que la hace muy particular, como lo sabia Einstein desde sus postulados de la relatividad Especial y es su velocidad de propagación c=3\times 10^8 m/s. En resumen tenemos la siguiente situación

 Parámetro  Simbolo Dimensiones
 Masa cuerpo  M  Masa
 Distancia Mínima  d  Distancia
 Constante gravitacional  G \frac{Distancia^3}{Masa\cdot Tiempo^2}
 Velocidad de la luz  c  \frac{Distancia}{Tiempo}

Para ser precisos existe otra distancia que es la longitud de onda, o equivalentemente la frecuencia, que determina el color del rayo de luz. Sin embargo, supondremos que las distancias de relevancia en el sistema son mucho más grandes que esta y podemos considerar la luz como un simple rayo sin considerar sus propiedades ondulatorias. Estas deberan ser consideradas si queremos ver los efectos cuánticos involucrados.

Con estos parámetros tenemos que la única opción es que el ángulo de desviación tenga la siguiente expresión

\theta_{luz}\propto \frac{G M}{d c^2}\,,

pues sólo de este modo se logra una cantidad sin dimensiones. La expresión como tal es en cierto modo de esperar. Entre más fuerte sea la interacción gravitacional, esto es $G$ sea más grande, o el cuerpo sea más masivo, $M$ más grande, la curvatura del espacio será mayor y por tanto el ángulo. Caso contrario ocurre si agrandamos la distancia entre el cuerpo y la trayectoria, esperando que para grandes distancias el ángulo sea casi nulo. Así mismo si la velocidad de la luz es infinita, cómo lo es en la mecánica de Newton, la luz no debe verse desviada, como concluimos de nuestra expresión. Aun así, si queremos comparar con un experimento debemos precisar la constante de proporcionalidad que nos daría el valor del ángulo predicho. Antes de hacerlo aclaro que el ángulo también podría ser una función de la cantidad encontrada, de modo que nuestro resultado esperamos sea sólo válido para ángulos muy pequeños.

En su artículo de 1911 Einstein hace un primer intento por cuantificar los efectos de la gravedad en la luz utilizando una versión inicial de la teoría de generalizada de la gravedad, como la llamaba al inicio. En esta, con la única consideración del principio de equivalencia, Einstein encuentra

\theta_{cla}= 2\frac{G M}{d c^2}\,.

Para el Sol y un rayo de luz pasando por su borde esto implica un ángulo de desviación de 0.85 arcsegundos. Pensemos que 3600 arcosegundos son 1 grado y que la luna llena cubre de extremo a extremo medio grado, o sea 1800 arcosegundos. Esto nos muestra que aun con el sol este efecto es pequeño. Interesantemente este mismo resultado había ya sido encontrado más de cien año atrás por el astrónomo Johann Georg von Soldner en 1801 utilizando la teoría corpuscular de la luz siguiendo una idea aislada de Newton en el cierre de su tratado en óptica. El resultado de Soldner cayó en el olvido por el auge que tenía en ese momento la teoría ondulatoria de luz además del valor minúsculo del resultado que lo hacia imposible de verificar experimentalmente. su artículo sólo fue revivido brevemente por Físicos Nazis a inicios de la década de los 20 en un intento por desacreditar la teoría del cada vez más famoso Einstein.

Ya que la teoría inicial de Einstein de la gravitación consideraba solamente el principio de equivalencia, por lo que es de esperar que sus resultados coincidan así sea aproximadamente con los de cualquier otra teoría que tenga este principio en cuenta, cómo en el cálculo de Soldner. En 1916, cuando tiene una propuesta final de su teoría general, que incluye la curvatura precisa del espacio además del principio de equivalencia, Einstein vuelve a atacar el problema. En esta ocasión encuentra

\theta_{Einstein}=4 \frac{G M}{d c^2}=2 \theta_{cla}\,,

conincidencialmente exactamente el doble del caso clásico, que para un rayo de luz pasando apenas por la superficie del Sol es de 1.75 arcosegundos, un valor con posibilidades de ser verificado experimentalmente, cómo posteriormente lo hiciera Sir Arthur Eddington en el eclipse de sol del año 1919, con valores observados de

\theta_{exp,1}=1.69\pm0.31\,,~~~ \theta_{exp,2}=1.98\pm0.12\,

correspondientes a los dos puntos de observación en el planeta. Estos definitivamente descartan el resultado de la teoría de Newton, encontrado por Soldner, y favorecen el de Einstein. Para hacernos mejor la idea de la magnitud del fenómeno, y por tanto la dificulatad de la medición, veamos la siguiente figura que muestra un rayo de luz pasando por la superficie del sol en una trayectora hasta la Tierra.

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol.

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol. El rayo de luz, en rojo, prácticamente se superpone a una línea recta en azul punteado.

Como vemos las dimensiones del dibujo no dejan distinguir el caso del rayo desviado en rojo con el directo en azul punteado. Para ver los efectos en un dibujo a estas escalas necesitamos un estrella más grande. Por ejemplo si tomamos una estrella con mil veces la masa del Sol pero con el mismo tamaño tenemos un ángulo de desviación de casi 1800 arcosegundos, !una Luna llena!, y la figura se vería cómo

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea  una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Teoría de Brans-Dicke

Para nuestro caso sólo contamos con el Sol para hacer estas observaciones y las incertidumbres grandes en los resultados encontrados hasta inicios de los 60, aunque descartan los predicho por Newton, dejaban abierto el valor preciso del ángulo y por tanto la teoría que lo explica.

En efecto el anterior resultado para el ángulo de desviación es propio de la gravedad de Einstein, la cual dista de ser la única posible. Existe, por ejemplo, otra propuesta conocida como escalar-tensorial o de Brans-Dicke donde se abre la posibilidad que la constante universal G no sea una constante sino que sea un número dictado por el contenido de materia en el universo observable. Esto en el espírito de lo que hoy generalmente se denomina principio de Mach. El efecto neto es que la forma en que se mide en el universo dependerá de un parámetro libre $latex\omega$, y el ángulo de desviación queda dictado por:

\theta_{Brans-Dicke}=2 \frac{G M}{d c^2}\left(\frac{3+2\omega}{2+\omega}\right)=\frac12 \theta_{Ein}\left(\frac{3+2\omega}{2+\omega}\right)\,.

De modo que si $latex\omega$ es muy grade los resultados de de la teoría de Brans-Dicke y la de Einstein coinciden muy bien. A finales de la década de los 60’s una serie de experimentos pusieron en duda la esfericidad del Sol, y los datos experimentales parecían favorecer la teoría de Brans-Dicke con $latex\omega=7$. Para este $latex\omega$ tenemos un ángulo de desviación de $1.66$ arcosegundos el cuál necesita muy buena resolución para ser distinguido del de Einstein. Esta resolución se logra con experimentos de la década de los 70 e imponen sobre el valor de $latex\omega$ un límite inferior de más de 500. Al ser más sencilla la propuesta de Einstein hoy por hoy decimos que esta es la descripción correcta de la gravitación.

Agujeros negros

¿Qué pasa si dejamos la misma masa para el Sol pero disminuimos su radio quinientas mil veces? Este radio coincide con el radio de Schwarzschild para el Sol, y es el tamaño crítico para que el Sol se convierta en agujero negro. En este caso los efectos son claramente visibles y las trayectorias para los rayos de luz se verían de la siguiente forma

Trayectorias de un rayo de luz cerca a un agujero negro.

Trayectorias de un rayo de luz cerca a un agujero negro.

En realidad esta gráfica ha sido dibujada utilizando sólo la aproximación de ángulos pequeños, que cómo vemos no es cierto en este caso, por tanto no podemos fiarnos de lo que esta nos dice. Sin embargo, no sería de extrañar que en campos gravitacionales fuertes, cómo los experimentados cerca a un agujero negro la luz se vea dramáticamente desviada. Este es una efecto que vemos en la película Interestelar que nos muestra una agujero negro, Gargantua, el cual está rodeado de un disco de gas, disco de acreción, con la materia que gira su alrededor. Esta materia emite luz, de la cual usualmente observamos sólo rayos X, y esta luz se ve desviada por el capo gravitatorio del agujero. Así, aunque el disco de acreción está en el ecuador del agujero, vemos una imagen de la parte de atrás en los polos, de modo que vemos el agujero cómo rodeado por una aureola luminosa.

El disco de acreción está sobre el ecuador, pero la luz de la parte trasera, en principio cubierta por el agujero, se observa en los polos debido a la desviación de la luz por la geometría del espacio cerca al agujero negro.

Lentes gravitacionales

Un fenómeno que se explica con la desviación de la luz y que ha venido siendo explotado en la astronomía son lo lentes gravitacionales. En este caso son las galaxias o grupos de estas, que con cientos de miles de millones de estrellas generan efectos visibles con resultados sorprendentes y artísticos. En este caso no es posible utilizar la consideración de cuerpo esférico y es necesario un formalismo general que interesantemente tiene analogía con la refracción de la luz al pasar por un medio, lo que refuerza aun más el que se les llame lentes.

La cara feliz cósmica captada por el telescopio Hubble. Es la combinación de varios anillos de Einstein generados por fenómeno de lente gravitacional.

Algo peculiar que ocurre cuando los efectos de la desviación de la luz son grandes es el hecho que podemos tener múltiples imágenes de un mismo objeto debido a que la luz puede tomar distintos caminos para llegar al mimos punto. Por ejemplo para el disco de acreción de Gargantua teníamos una imagen arriba y otra abajo. Sin embargo, usualmente estos caminos no tienen longitudes iguales y se tiene que las imágenes corresponden a tiempos diferentes y podemos observar un mismo evento varias veces. Esto es lo que sucede por ejemplo con la explosión de supernova Refsdal a nueve mil millones de años de distancia, que ya fue observada en el 2014. En este caso el grupo de galaxias MACS J1149+2223 está alineada con la galaxia donde se generó la explosión y sirve como un lente gravitacional que nos permitirá observar el evento de supernova nuevamente este 2016.

A modo de conclusión

El efecto de desviación de la luz no es la única relación que existe entre la relatividad general y la luz, recordemos simplemente que las ideas de Einstein se originaron de los trabajos de Maxwell sobre los campos electromagnéticos. Sin embargo, es un fenómeno que nos permite, como en esta entrada, recorrer desde la construcción misma de la teoría hasta las implicaciones cuantitativamente hablando, tocando de paso fenómenos que nos seguirán maravillando por siempre, y de este modo unirnos a la celebración de estos dos grandes eventos del año.

No puedo cerrar sin decir que aunque todos le deseamos larga vida a la luz, desearle LUX AETERNA a la teoría general de la gravitación sería desearnos menos emociones en el futuro. Muchas son las razones para esperar que tarde o temprano la luz brillará para una teoría más completa que la de Einstein. Materia oscura, ondas gravitacionales, agujeros negros y la energía oscura son instancias donde esperamos encontrar pistas sobre ese nuevo pilar de la ciencia.

P.D. No dejen de jugar un rato con esta aplicación que te permite crear tu propio agujero negro y ver los efectos apenas descritos en esta entrada.

Referencias

[1] A. Einstein, Uber den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes
(On the influence of gravitation on the propagation of light) Ann. Phys. 35
(1911), 898-908.

[2] A. Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitaetstheorie (The foundation
of the general theory of relativity). Ann. Phys. 49 (1916), 769-822.

[3] Clifford M. Will, El renacimiento de la relatividad general.

[4] Clifford M. Will, Was Einstein Right? 2nd Edition: Putting General Relativity To The Test, Basic Book, 1993.

[5] Einstein En-linea: Desviación de la luz y el principio de equivalencia.

[6] Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.