Pi en un día de lluvia

Vale vale, esta entrada nada tiene que ver con la peli La Vida de Pi,  pero hoy es el día Pi o 3-14, pues coinciden con las primeras cifras del famoso número conocido desde la antigüedad, que dicta, entre otras, la razón entre el perímetro, p, y el diámetro, d, de cualquier círculo,

,

 

así que ¡hay que celebrar!

Hoy quiero compartirles un sencillo método para matar el aburrimiento, o tal vez para incrementar la tensión, que se vive en un día lluvioso descubriendo de manera empírica.

La idea se basa en el hecho que este estupendo número también dicta la razón entre el área del un disco, , y su diámetro al cuadrado

.

Con esto en mente procedamos:

Todo lo que necesitas es un par de vasos idénticos, acetatos, tijeras, cortador, algo para medir volúmenes de agua y calculadora, aunque si no te da pereza puedes prescindir de la calculadora, ah y claro un día lluvioso.

Lista de materiales para nuestro experimento

Vamos dibujar en el acetato dos cuadrados de tamaño ligeramente inferior a la boca de los vasos,  y recortamos las porciones donde quedaron los cuadrados de modo que estas cubran completamente la boca del vaso, buscando que lo cuadrados que acabamos de dibujar queden centrados en la boca.

A uno de los cuadrados le inscribimos un círculo, o sea dibujamos un círculo dentro con el diámetro igual al lado del cuadrado

Cuadrados ligeramente más pequeños que las bocas de los vasos. En uno se inscribe un círculo. Como ven soy bastante torpe con el compás. Los círculos grandes muestran las bocas de los vasos y los cuadros que los contienen las secciones de acetato que se cortan para poner sobre los vasos.

Con el cortador cortamos el cuadrado sin círculo y para la parte con el círculo cortamos la silueta de este. Tenemos ahora dos pedazos de acetato con cada uno con un agujero en ellos, uno de forma cuadrada y otro de forma circular pero con tamaños relacionados.

Par de vasos ya con los acetatos colocados y ajustados en sus bocas.

Cada sección la vamos a ajustar con la cinta a las bocas de los vasos y con esto estamos preparados para experimentar, sólo es esperar un día de buena lluvia.

Cuando llegue el momento colocaremos los vasos  en el exterior, asegurándonos que ambos estén en las mismas condiciones y horizontalmente. La lluvia comenzará a llenar los vasos pero sólo podrá entrar por las siluetas que recortamos, una cuadrada y otra circular.

Luego de esperar un buen rato, para que se logren llenar apreciablemente vamos a recogerlos para medir cuanta agua ha entrado en cada uno.

Vasos luego de la lluvia. La foto no es buena y no se logra apreciar el agua. Esta fue luego de varios intentos y fracasos como vasos caídos durante el aguacero.

Lo primero que notarás es que en el vaso con la silueta cuadrada hay más agua. Esto es de esperarse pues como la silueta circular es de tamaño inferior debe entrar menos agua en el otro vaso. Para ser precisos utilizamos una jeringa para medir los volúmenes, en mí caso dieron los siguientes datos:

.

Bien, ahora lo que hacemos es dividir el correspondiente al cículo por el del cuadrado y multiplicar el resultado por 4, así

,

que sería mi experimental para ser comparado con el correcto y vemos que dado lo rudimentario del método se acerca satisfactoriamente. Cortar el disco no fue tarea sencilla con mis aptitudes manuales. Además es importante dejar suficientemente tiempo los vasos en la lluvia, pues el método es más efectivo entre más gotas entren. También asegurar que estén horizontalmente, pues pueden comenzar a entrar agua que no ha caído justo en la boca.

Pero ¿cómo es esto? Pues fácil, como habíamos dicho entre más grande el área más agua entra y esta relación de hecho es lineal así que se tiene que la razón entre los volúmenes de agua es igual a la razón de las áreas

.

Ahora bien. Como hemos sido cuidadosos en hacer que el diámetro del disco coincida con el lado del cuadrado y para cada uno se tiene: y $A_{cuadrado}=d^2$, se sigue

,

lo que algunos gustan por escribir como

.

Lo que explicaría nuestro resultado.

De hecho este es un método muy utilizado para la evaluación de áreas que se conoce como Método Montecarlo, que lo que hace es hacer dispararos aleatorios sobre una área de referencia que contiene el área que deseamos  calcular. La probabilidad que un disparo caiga dentro del área de interés y no por fuera dependerá de la razón entre las áreas. Así si todos los disparos cayeron en el área estudiada sabremos que esta cubre toda el área de referencia y coincidirán. Si sólo la mitad de los disparos entraron entonces el área será la mitad de la de referencia, precisamente como hemos hecho con el disco con nuestra área de referencia el cuadrado.

Acá un video que muestra el método y otros dos para que celebremos juntos este sábado Pi

Una cita con Sandra Bullock en órbita

Convertirse en astronauta e ir al espacio sigue estando entre los deseos más recurrentes de los niños, y es un sueño que seguimos compartiendo muchos adultos que, de todos modos, nos conformamos con poder mirar la Vía Láctea desde un lugar cercano a la casa. Además, por fortuna o desgracia, tenemos la facilidad de la realidad virtual que nos permite experimentar, casi, la sensación de estar en órbita. Tal vez por esto no dejan de entusiasmar películas como Gravity, de Alfonso Cuarón, donde además es una mujer la protagonista, Sandra Bullock, lo que puede animar aun más a las niñas a volar lejos.

En esta publicación quisiera acompañar a Sandra Bullock y experimentar junto a ella, desde otro punto de vista, sus vivencias en órbita. Una cita con la Bullock, wow, y en el espacio exterior, super WOW!. Sí, ya sé que ya pasó de moda, pero hasta hoy, por fin, termino este comentario alrededor de la película que, con su casi decena de premios Oscar, ya se convirtió en una referencia en el cine de ciencia ficción.

Atracción gravitacional en órbita y cero gravedad

Antes quisiera aclarar algo. La concepción que las cosas en la Estación Espacial Internacional, y en general en órbita, flotan debido a que se encuentran lejos, «fuera», de la Tierra donde, por tanto, la atracción gravitacional es nula no es cierta.  Si lo fuera la Luna no estaría acompañándonos como lo hace desde hace unos 4400 millones de años. En efecto, podemos evaluar la aceleración de la gravedad que experimentaría alguien en la terraza de un edificio tan alto como para tocar la estación espacial internacional, a unos 420 kilometros de la superficie terrestre. Para esto utilizamos la ley universal de la gravitación para la fuerza, , entre dos objetos separados una distancia (para esferas esta distancia se mide desde el centro de la esfera), y masas y ,

con la constante universal de la gravitación. Lo que llamamos aceleración de la gravedad, , es simplemente la aceleración, . causada por esta fuerza según la segunda ley de Newton , con la masa de la Tierra, es decir:

Así sobre la superficie terrestre, , ésta es aproximadamente , que es la aceleración que experimenta todo cuerpo (en el vació) estando en la Tierra. Para una persona parada en nuestro edificio de 420 kilometros de altura, , esta aceleración en cambio es de

que en efecto es más pequeña pero que no explica que las cosas estén flotando. De hecho es aun mayor que la aceleración gravitacional que se experimenta en la superficie lunar que es alrededor de un sexto de la terrestre, , y bien sabemos que en la Luna las cosas caen, y suficientemente rápido como para percibirlo, como podemos ver en este video rodado por la misión Apolo 15. Vemos, entonces, que esto no explica que los astronautas de la estación internacional estén paseándose por ahí como si nada los estuviera atrayendo gravitacionalmente.

En caída libre

Para entender los astronautas flotando debemos recordar algo que ya mencioné en una publicación anterior, a decir que los sistemas acelerados son equivalentes a sistemas en un campo gravitatorio, o lo que se conoce como principio de equivalencia. Para entender mejor esto les recomiendo que jueguen un poco con este complemento interactivo de MinuteLab.io donde se aprecia la igualdad de ambas situaciones. Esto implica por ejemplo que, si vamos en un ascensor al cual se le cortan las cuerdas y comienza a caer libremente experimentaremos cómo nuestro cuerpo pierde completamente su peso y comenzamos a flotar. Bueno esto mientras dura la caída. Este efecto es el que utilizan los astronautas para entrenar estando en tierra. Suben en un avión que una vez estando arriba, se deja caer en caída libre, de tal forma  dentro del avión se experimenta cero gravedad.

Pero estando en órbita ¿la Bullock yo estamos en caída libre? ¡Sí!. Los astronautas, como los satélites artificiales y la Luna, orbitando la Tierra, están en caída libre. Sin embargo, su velocidad en la dirección tangencial, o sea en la dirección que rodea la Tierra, es tan grande que su trayectoria de caída no alcanza a tocar el suelo sino que se cierra en sí misma. Esto fue lo que comprendió Newton cuando supo que tanto la Luna como una manzana estaban interactuando con la Tierra del mismo modo. Así explicó que la primera no se cayera utilizando el experimento mental que hoy conocemos como cañón de Newton y que este video muestra de forma clara.

Como vemos estar en caída libre no es dramático para nuestra cita, sino, más bien, lo que le pone el toque especial.

Aceleración centrípeta y la órbita de la estación espacial

¿Entonces la estación espacial no está quietita en el espacio? ¡No! Este es el punto donde podemos descubrir que la película Gravity pareciera tener un error recurrente en su trama, o, por lo menos, algo que es difícil de justificar. Ya que el movimiento de la estación espacial es, aproximadamente. circular, tenemos que es un movimiento acelerado, de hecho ya dijimos que está en caída libre. La aceleración que experimenta un objeto en una trayectoria circular se denomina aceleración centrípeta que se expresa de la forma , donde es la velocidad tangencial y el radio de giro. Así, utilizando nuevamente la segunda ley de Newton, , tenemos que en el lado izquierdo aparece la fuerza gravitacional, mientras en el derecho la masa del cuerpo girando y la aceleración centrípeta. Con esto y conociendo el radio de giro, que coincide con la distancia al centro de la Tierra, podemos por ejemplo calcular la velocidad tangencial de la Luna, teniendo en cuenta que la distancia entre el centro de la Tierra y la Luna es de unos 390 mil kilómetros,

Así podemos predecir los 28 días de periodo de la Luna alrededor de la Tierra, ya que debe recorrer los casi 2.5 millones de kilómetros de su órbita ( 390 mil kilometros). Lo mismo podemos hacer para la estación espacial internacional con

¡WOW unas 27 veces más rápido que un avión comercial en velocidad de crucero! ¡Sí que vamos rápido en nuestra primera cita con Sandra!, aunque no lo notamos pues no hay puntos de referencia ni aire que se oponga a nuestro movimiento en el espacio. Con esta velocidad tenemos que la Estación espacial da una vuelta a la Tierra cada 93 minutos. Todo esto lo podemos comprobar en la página oficial de la Estación Internacional, e incluso podemos vivirlo en vivo, donde apreciamos que efectivamente Sandra nos puede invitar a ver el amanecer y el atardecer cada hora y media. Romántico, ¿no?

Vale pero ¿cómo termina nuestra cita?

En algún momento, luego del primer encuentro con los restos de los satélites y que parecen haber ya hecho todo el daño posible, nos dicen que debemos tener en mente que los restos volverán en unos 92 minutos. Esto lo deducen de los informes desde tierra que dicen que los restos viajan a una velocidad de treinta mil kilómetros por hora, , muy similar a la que encontramos para la estación espacial.  Así la Bullock pone la alarma de su reloj para una hora y media de tal forma que pueden tener un pre aviso.

Reloj con alarma para 90 minutos de que da aviso de la próxima llega de los restos.

Si entendemos cómo obtener el tiempo que le toma a la estación espacial dar una vuelta a la Tierra, es claro que este debe ser más o menos el tiempo que le tomará a los restos dar una vuelta también. Pues están a la misma altura y con una velocidad similar. Pero, este es el tiempo que le tomará a los restos volver al punto donde nos encontraron la primera vez, NO el tiempo que les tomará alcanzarnos nuevamente, pues como entendimos nosotros también estamos moviéndonos. Dicho de otro modo, si nos estamos moviendo en el mismo plano de los restos puede decirse que para nosotros estos no se mueven, pues vamos a la misma velocidad. Como vemos los otros autos en la misma dirección en la autopista, a pesar que ambos vamos a gran velocidad.

Podríamos pensar que la velocidad es en cambio relativa, o sea que ambos están efectivamente moviéndose y que el dato que nos dan desde tierra se refiere a la velocidad que los restos tienen con respecto a nosotros, de tal forma que nos alcanzarán nuevamente luego de hora y media. Pero para que este sea el caso, o bien lo restos no están girando y por tanto están cayendo verticalmente hacia la Tierra, o, suponiendo que estamos en el mismo plano de movimiento, los restos se estarían moviendo con respecto a la Tierra una rapidez de 60 mil kilometros por ahora de tal forma que nosotros los veamos conrapidez de 30 mil kilómetro por hora. En este segundo caso, sin embargo, la velocidad de los restos sería mayor a la velocidad de escape (la velocidad mínima para que la bola del cañón de Newton logre escapar definitivamente de la atracción de la Tierra) a la altura de la Estación Internacional, que es de apenas de 40 mil kilometro por hora. Así que de cualquier modo no nos encontraríamos de nuevo con ellos. y por tanto igual no regresan pues se perderían en el espacio exterior.

De todos modos no crean que pude salvar tan fácilmente mi cita con Sandra. En realidad la órbita que nosotros llevamos no tiene necesariamente que estar en el mismo plano de la órbita de los restos espaciales, como lo he supuesto hasta el momento. ¡En tal caso ambos podemos estar moviéndonos con velocidad de 30 mil kilómetros por hora y a la misma altura! Pero nos encontraríamos con los restos cada vez que diéramos media vuelta a la Tierra, o sea 46 minutos y no 92 como en la película. Lo que le da, incluso, más dramatismo a nuestra cita que, en todo caso no tenía futuro (somos muy distintos Sandra y yo).

Las órbitas de los satélites pueden estar en cualquier plano. Así, aun si tienen el mismo radio, sólo se encuentran en dos puntos.

Con lo anterior, pareciera que los siguientes encuentros con los desperdicios espaciales, que arruinarían definitivamente nuestra cita, ocurren de manera distinta a cómo lo muestra la película. Ahora, en realidad las órbitas no son circulares sino elipses que, para nuestro caso, tendrían uno de los focos en el centro de la Tierra. Para la Estación Internacional la órbita es apróximadamente un círculo, pero no podemos suponer lo mismo para los restos del satélite. De tal manera que aun estando en el mismo plano nos podríamos encontrar sólo una vez cada vuelta. Algo parecido a lo que sucede con los cometas y la Tierra. Por ejemplo el cometa Hartley tiene una órbita que coincide, casi, con la de la Tierra en un sólo punto, y nos visita cada seis años y medio (ver por ejemplo los anuncios de su última visita en el 2010 en ScienceBlog).

Órbitas de la Tierra (Earth) y el cometa Hartley. Tomadas del blog científico ScienceBlog

Notemos, sin embargo, que la visita del Hartley no ocurre cada que la Tierra da una vuelta, o sea un año. Lo que implica que para la situación de nuestra cita en órbita encontrarnos con la basura espacial cada 92 minútos es una coincidencia bastante improbable, necesitando órbitas increiblemente similares. Aunque esto no es imposible, más si de dañar una cita se trata, y aún más si tenemos en cuenta lo cochino que estamos dejando el espacio.

Basura espacial acumulada durante sólo las última decenas de años.

Como sea la película sigue siendo un gran intento por hacernos viajar más allá de los límites a los que estamos acostumbrados, que es precisamente lo que hace la ciencia. Por lo que no me extrañaría que en unos años uno que otro científico o ingeniero, ojalá mujeres, haya llegado a la ciencia gracias a Gravity, como seguramente lo hiciera en su momento, aunque sin comparación, «2001: Odisea del espacio» de Stanley Kubrick, y como lo está haciendo «Interestelar» de Christopher Nolan que acompañado del astrofísico Kip Thorne han hecho una peli que además de impactante está muy ceñida a lo que hoy conocemos del cosmos.

Bien, espero que además de disfrutar la peli tanto como yo con esta entrada comiencen  a verla desde otro punto de vista… la de la Física. Nos estamos leyendo.

P.D. A propósito, ¿qué tal este curso de física universitaria del profesor Andrew Cohen?

La experiencia de enseñar

Soy Físico.

Después de estar más de cinco años dedicado a aprender e investigar en Física (de partículas elementales), mi primera experiencia en Docencia ha sido La experiencia. Nunca antes enseñé a nivel universitario. Dejo de lado los cortos tres meses que fui profesor de colegio, porque eso es otro mundo, que sea más o menos complicado que la docencia universitaria, es algo que no voy a discutir. Pero lo dejo de lado porque el tiempo fue muy corto y porque, como dije antes, es otro mundo.

Entonces, nunca antes enseñé. Ahora ya cumplí dos años en la Universidad del Atlántico. Cuatro semestres completos de cursos (más un período intersemestral). Doce cursos (no siempre distintos) de física en diferentes áreas y carreras. Cada uno, en su momento, fue un reto, requirió de mi parte un esfuerzo enorme, me exigió alta concentración y dedicación. Mucho más, de hecho, que otros con más experiencia. Y bueno, ¿ya mencioné que soy Físico? Digo, es que no tengo preparación en docencia ni en pedagogía. No quisiera que sonara a excusa pero…

Este semestre tengo en mis manos (por segunda ocasión) la gran responsabilidad que conlleva ser el primer profesor de física de los estudiantes de la carrera de Física (valga la repetición de la palabra). Este curso es bien interesante y en realidad es un reto importante. Y una de las situaciones que llaman mucho la atención es la realidad que enfrenta el estudio de las ciencias: pocos quieren hacerlo. A primera vista, no pareciera que esto fuera así, porque se inscribieron 40 estudiantes en el curso. Esto quiere decir que, por lo menos, 40 de los aspirantes a ingresar a la Universidad, eligieron el caminos de la Física. Sin embargo, una observación más atenta revela que tan solo alrededor del 15% de verdad querían estudiar esta carrera. El restante 85% están en mi curso porque no alcanzaron el puntaje necesario en el examen de admisión para acceder a la carrera que querían. Así, llegaron a Física porque fue su «segunda opción».

Así que uno se enfrenta a un grupo de personas que, además de su corta edad (un promedio que apenas llega a los 18 años), no tienen un verdadero y completo interés en el área. Muchos de ellos (¿la mayoría?) esperan poder cambiarse de carrera lo más pronto posible. Ya están adentro, hay que mantenerse y buscar la forma de hacer lo que de verdad se quiere. No busco criticar, solo presentar la realidad, poner un contexto. Porque esta es una de las realidades que hace que el curso sea un gran reto. Qué maravilla sería que el primer profesor de física en la universidad lograra que los estudiantes se enamoraran de la física y desdieran quedarse, ¿no? Interesante desafío, ¿no? Por otro lado, también está la idea de que este primer curso es (debe ser) un filtro, de manera que quienes sigan en el camino sean los que deben (léase, los que tienen con qué) seguir. Entonces, más que un desafío, la cosa se convierte en una especie de amenaza, ¿no? Y sí, ciertamente uno se encuentra con grandes dificultades con los estudiantes, específicamente por sus deficiencias formativas básicas (lectura, escritura, matemáticas), pero pienso que a veces esto es una excusa que a nosotros, docentes universitarios, se nos presenta como el mejor pretexto para evitar hacer nuestro trabajo de una mejor manera. ¡Y cómo se ve esto en mi Universidad!

Soy Físico. No soy Licenciado. No soy pedagogo. ¿Es esto una disculpa, una justificación? Yo no quiero que lo sea. Por eso el uso de la palabra «reto». Me decían, hace varios años, que yo era bueno explicando física, de hecho, me gusta hacerlo. Y este curso en particular lo quiero hacer bien. ¿Hacer que se enamoren de la física? ¿Hacer del curso un colador? ¿Un poco de las dos? Una cosa es segura: deberá ser (mucho) mejor que el del semestre pasado. Quisiera aprender a enseñar y no sé si la práctica sea el mecanismo más adecuado para lograrlo.

Ah, y ya que retomo la escritura, espero muy pronto volver a comentar sobre física y sobre neutrinos.

Avatares de un Super Sayajin relativista: horizontes de eventos.

Como buen niño citadino crecí en gran parte influenciado por la televisión. Afortunadamente contaba en esa época con progamas que recuerdo con mucha nostalgía y que difícilmente hoy tienen algún paragón en la televisión privada. Unos ejemplos son matemáticas 1,2,3 con Nico y Tap, y Ciencias para Niños, que fueron parte de mis primeros pinitos con las matemáticas y los experimentos en casa.  Apenas recuerdo cuantos juguetes hice, muchos un fracaso absoluto, reproduciendo los hechos por los hermanos Pico, Kika y su amigo Taro, que era el más pilo. Como las mariposas levitantes  con imanes y los cohetes con rollos de papel higiénico y bandas elásticas. Hoy me esfuerzo por recordar estos programas para jugar con mis hijos y divertirnos de otra forma.

Claro que también recuerdo con cariño a Bugs Bunny y sus amigos de la Warner Bross, en particular al Coyote. Creo que todos los que hemos visto al Coyote en acción decimos «uff claro, a mí también se me habia ocurrido algo parecido», y luego también nos preguntamos «¿De donde saca el dinero?». El pensamiento final siempre es «rayos otra vez se escapó». Bueno en realidad yo siempre pensaba «¡INTÉNTELO DE NUEVO!» porque muchas veces estaba tan cerquita de lograrlo que era una pena que no corrigiera sus cálculos y errores.

Aveces también quedaba en duda sobre qué tanto de lo que aparecía podía ser posible…  y en estos royos aún ando cada vez que veo un dibujo animado.

Sin embargo, al igual que muchos de mis contemporáneos, el clímax y era dorada de los dibujos animados comenzó con la llegada masiva del anime a Colombia. Tal vez comenzando con Super campeones (Capitan Tsubasa), pasando por Caballeros de Zodiaco, series épicas e inspiradoras como mi favorita Samurai X (Rouruni Kenshin), o la completamente fuera de juicio Ranma 1/2 y varias otras que pasan y pasaron por la televisión latinoamericana. Pero la verdadera leyenda es, sin lugar a dudas, Dragon Ball, con sus secuelas Dragon Ball Z y GT. Aun hoy es difícil encontrar alguien, menor de 35 años,  que no conozca varios detalles de la serie, y eso la hace un lenguaje casi universal que me ha permitido divertirme con algunos ejemplos y ejercicios en las clases de Física que dirijo.

Este semestre, unas semanas antes un parcial, los estudiantes de la electiva en cuántica relativista se quejaron porque a ellos nos les proponia ejercicios con Goku… así que en el siguiente parcial él fue el protagonista. En una situación que ahora trataré de exponer brevemente, aprovechando la oportunidad para, por primera vez en el blog, formalizar un poco las ideas.

En algún momento de la historia de Dragón Ball Z, Goku decide viajar al planeta Namek (Namekusei), donde su hijo Gohan y su amigo Krilin luchan contra las poderosas fuerzas especiales de Freezer. Goku comprendiendo lo poderosos que son sus contrincantes que decide realizar un fuerte entrenamiento en el trayecto. Para esto, le pide al diseñador de la nave que esta posea un dispositivo para controlar la gravedad experimentada dentro de la nave. En este punto el científico-ingeniero, papá de Bulma, exagera un poco en cuanto a su magnifica invención. Para entender esto basta recordar que los sistemas acelerados son equivalentes a sistemas bajo un campo gravitatorio, como lo hemos experimentado montados en un carro cuando este arranca o frena, o cuando el ascensor arranca. Así, si el ascensor comienza a bajar, una balanza de precisión medirá un peso inferior al que mide en reposo, y si comienza a subir el peso por el contrario será superior. Este es un juego que propongo en clases de Física I para los/las estudiantes que quieran perder o ganar un poco de peso (con la decepción que los kilito, masa, por el contrario siguen siendo los mismos). Entonces, lo único que tiene que hacer la nave en la que viaja Goku para que este experimente una gravedad es acelerar. Este truco, por ejemplo, lo utilizan en la Estación Espacial Internacional para simular las condiciones en la Tierra y evitar problemas fisiológicos en los habitantes temporales.

Goku, siempre radical, decide entrenar casi inmediatamente con una gravedad cien veces la de la Tierra, 100 g.

C-vectores y líneas de mundo

Vamos a describir el viaje de Goku desde el sistema de referencia inercial Tierra. En efecto, como veremos, el movimiento circular de la Tierra es realmente despreciable para un movimiento con aceleración como la de Goku.

Lo primero que debe quedar claro es la necesidad de utilizar relatividad especial y no mecánica newtoniana en el análisis. Para esto consideramos que el viaje de Goku dura al menos unos días, de tal forma que acelerando a 100 g= en un sólo día Goku, según cinemática galileana, clásica, alcanzaría la asombrosa rapidez de , que es aproximadamente la tercera parte de la velocidad de la luz en el vació y que usualmente denotamos como  c. O sea que en tres días, con esta aceleración constante, Goku viajaría a la velocidad de la luz, y al cuarto tendríamos, además de un Super Sayajin, un Sayajin Superlumínico, como nos referimos los físicos a objetos que viajen más rápido que la luz en el vacío. Vemos, entonces, que se trata de un movimiento con velocidades próximas a las de la luz, y que por tanto para poder extraer conclusiones precisas debemos utilizar relatividad de Einstein. En particular el análisis clásico entrega un resultado que entra en contradicción con la velocidad de la luz en el vacío como una velocidad límite.

En relatividad, la simetría entre el espacio y el tiempo hace que sea más conveniente trabajar con vectores que contengan esta información de forma conjunta, lo que llamamos coordenadas espacio temporales. Los objetos que contienen esta información son lo que se denomina cuadri-vectores, o c-vectores para abreviar, cuyas componentes están dadas por

Para nuestro caso consideraremos el movimiento de Goku en una línea recta, que supondremos el eje x, luego nos bastará con c-vectores de dos componentes . Las coordenadas espacio-temporales de Goku van cambiado en el tiempo y pueden ser descritas como funciones de un parámetro arbitrario. En mecánica clásica este parámetro usualmente es el tiempo. Sin embargo, dado el valor relativo del tiempo para cada observador, es conveniente trabajar con un tiempo particular, el cual tome el mismo valor para todo observador o, en otras palabras, que sea un invariante relativista. Este tiempo es el tiempo propio, , o tiempo medido por un reloj que viaja con Goku. Con este se define la c-velocidad, U, y la c-aceleración, A,

que satisfacen las mismas reglas de transformación entre sistemas de referencia inerciales, transformaciones de Lorentz, que cumplen los , o sea también son c-vectores, y aunque sus componentes no coinciden con las velocidades y aceleraciones físicas que medimos en el laboratorio contienen esta información de forma indirecta. En particular la velocidad, , está relacionada con las componentes espaciales de la c-velocidad por

donde , es el famoso factor de dilatación de Lorentz. La c-velocidad y c-aceleración además cumplen las siguientes relaciones:

con c la velocidad de la luz (otro invariante relativista) y  a la aceleración propia del viajero, o sea la aceleración que mide en su nave, que para nuestro caso es 100g. El punto indica el producto punto usual entre vectores. De la definición de estas cantidades, se tiene que las anteriores son un conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales que tiene por solución (en este enlace encuentran un archivo Mathematica con los detalles de este y otros análisis)

donde se han impuesto las condiciones iniciales tales que Goku parte de la Tierra, posición cero, con velocidad inicial nula.

Con la solución encontrada podemos entonces, por ejemplo, graficar cómo va a ser la trayectoria de Goku vista desde la Tierra, o sea, cómo son sus coordenadas espacio temporales durante su viaje, en lo que se denomina diagrama de Minkowki. La gráfica animada en el tiempo deja claro cómo evolucionan en el tiempo -medido por la Tierra- las coordenadas temporales (eje horizontal) y su posición (eje vertical) formando la llamada línea de mundo o línea de universo .

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de una señal de luz (rojo punteado).

Además se han graficado las líneas de mundo de dos señales de luz (línea roja punteada) que salen simultáneamente con Goku, una de estas en dirección opuesta, formando lo que se denomina el cono de luz futuro del evento en que Goku arrancó. La línea roja que corre superpuesta al eje horizontal es la línea de mundo de la Tierra, donde viaja Milk, la esposa de Goku, cuya única coordenada que evoluciona es la temporal. El hecho que la trayectoria de Goku esté dentro del cono de luz está relacionado con el hecho que no es posible viajar, ni enviar información, a velocidades superiores a la de la luz en el vacío.

En este punto podemos notar que el tiempo que mide Goku, , no coincide con el tiempo medido en la Tierra, t, que es el mismo que miden en Namek si consideramos que los planetas están quietos unos con respecto al otro. Esto conduce a que Goku envejece en forma más lenta que los demás, como en la paradoja de los gemelos, pero que no discutiré directamente acá. O sea me centraré en el viaje de ida de Goku, pues el de regreso no sé cómo plantearlo por la dificultades que tengo en formalizar la técnica de teletransportación que Goku utiliza para salir de Namek.

Llamadas espaciales

Esta diferencia de flujo del tiempo, tal vez el resultado más famoso de la relatividad especial y general, puede generarle problemas a Goku en la casa. Por ejemplo supongamos que Milk y Goku quedan en enviarse un saludo, un mensaje de texto digamos, cada día a la media noche en punto. Pero por lo que vemos cuando para Goku es media noche,  , para ella en la Tierra ya ha pasado. Esta diferencia es para el primer saludo es de  20 minutos (como puede verificarse con la relación entre  y t en la solución encontrada), o sea t=12:20 am, algo que seguro no le gustaría a Milk. Como si esto no fuera suficiente, debemos tener también en cuenta que los mensaje no llegan instantáneamente, debido a la separación espacial entre ellos y la velocidad finita de los mensajes, que supondremos viajan a la velocidad de la luz, así que hay otro retraso en el mensaje de Goku. Para evaluar este tiempo de viaje del mensaje determinamos la posición, coordenada x, de Goku cuando su reloj indica la media noche. El resultado es aproximadamente de  0.15 días luz, y nos indica que al mensaje de Goku le tomará, desde ese punto, llegar a la Tierra 0.15 días, aproximadamente  cuatro horas, lo que de seguro enfurecería a la peligrosa Milk que no entiende de telecomunicaciones. La siguiente figura muestra los eventos en el tiempo cuando Goku envía sus saludos y cuando estos llegan a la Tierra, evidenciando el retraso apenas discutido.

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de las señales de luz enviadas cada días por Goku (rojo punteado). Hacer click en caso que la animación no se presente.

Para visualizar mejor donde está Goku utilizamos unidades astronómicas, que es la distancia del Sol a la Tierra. Luego de un día se tiene que Goku está a 25 ua, un poco más acá de Neptuno a unos 30 ua del Sol. A la media noche del segundo día, de Goku se encontrará a unos 100 ua, próximo a abandonar el sistema solar y a alcanzar a la nave Viajero II, hoy en día a 102 ua de la Tierra. Esto también nos da una idea de lo inverosímil que es la máquina y el viaje de Goku, pues a la nave viajero le tomó 36 años llegar allí a una velocidad aproximada de 60 mil kilómetros por hora.

Como puede demostrarse directamente de la expresión para las coordenadas espaciales la línea de mundo de Goku forma una hiperbola en el diagrama de Minkowski, con asíntota una recta paralela al cono de luz, lo que indica que Goku alcanza asintoticamente (en t infinito) la velocidad de la luz. La siguiente gráfica muestra las líneas de mundo para viajeros con distintas aceleraciones, partiendo del infinito acercándose inicialmente a la velocidad de la luz llegando a la Tierra con velocidad cero y continuando su aceleración regresando a infinito, nuevamente con rapidez la velocidad de la luz.

Líneas de mundo para viajeros acelerados partiendo en infinito llegando al origen , la TIerra, con velocidad nula, y continuando su aceleración a=g/5 (nogro), a=g/2 (azul), a=g (verde), a=2 g (amarillo) y a=5 g (naranja). El cono de luz en rojo.

Todas tienen asíntotas paralelas al cono de luz, pero para aceleraciones mayores estas se van acercando al cono como es de esperarse pues adquieren velocidades mayores más rápidamente.

Horizontes de eventos

El hecho que Goku alcance asintóticamente la velocidad de la luz y la imposibilidad de enviar señales a velocidades superiores genera un fenómeno bastante interesante:

Si analizamos la situación de los mensajes que recibe Goku tenemos que él, con un cálculo rápido, pensaría en un principio que los saludos de  Milk van a ser cada vez más frecuentes por la diferencia de flujo de tiempos, sin permitirle entrenar como él quisiera. Sin embargo, si además se tiene en cuenta el retraso de la señal, debido a la distancia que este tiene que recorrer, la situación es muy distinta. En efecto, el hecho que Goku se esté alejando cada vez más rápido, y a velocidades cercanas a la de la luz, hace que a las señales cada vez les tome más tiempo alcanzar a Goku e incluso existe un punto donde cualquier señal enviada desde la Tierra no alcanzará a Goku que prácticamente se está moviendo a la velocidad de la luz. En forma más precisa, cualquier señal que sea enviada a la derecha de la asíntota no alcanzará a Goku pues tendría que viajar más rápido que la luz. A la derecha de la asintota se refiere a tiempos posteriores al punto donde esta corta el eje horizontal, que para una aceleración a está dado por c/a (como también se estimaría por análisis dimensional para una velocidad inicial nula). Para nuestro caso, a=100 g, este tiempo es de alrededor de tres días y medio, lo que indica que el cuarto mensaje de Milk nunca llega su destino, aun si la rapidez de este siempre es superior a la de Goku (como se observa en la siguiente figura), en una situación que asemeja la segunda paradoja de Zenón de Elea hermosamente descrita por Jorge Luis Borges en su escrito Los avatares de la tortuga. 

Linea de mundo de Goku (azul) y la Tierra (rojo), y las señales enviadas por Chichi cada día (rojo punteado).

La situación ante la cual estamos presentes se denomina, por obvias razones, horizonte de eventos, pues sucede que Goku desconoce todo lo que pase en los puntos espacio-temporales a la derecha de su asíntota, ya que, al igual que el cuarto mensaje de Milk, cualquier mensaje que se envíe desde esta zona nunca alcanzará a Goku. Sin embargo, no está desconectado causalmente de estos, pues él sí puede continuar enviando mensajes hacia el exterior y afectar el futuro de estos, por ejemplo con un buen chiste los hará reír.

Una de las consecuencias más impactantes, pero no tan conocidas, de la presencia de horizontes de eventos es el llamado efecto Unrhu que relaciona la teoría de campos vista por dos observadores, uno acelerado y el otro inercial. Este efecto indica, que al contrario de los observadores en la Tierra, Goku verá el universo vacío con una temperatura no nula, lo que los físicos llamamos baño térmico, detectando una radiación. Este efecto muestra una vez más cómo un vacío cuántico es muy distinto a la nada a la que usualmente estamos acostumbrados, e incluso la definición de vacío depende del observador.

El sistema físico más famoso que presenta un horizonte de eventos es un agujero negro. Aunque en este contexto su aparición se explica de otra manera las implicaciones en general son las mismas: las señales de un viajero más allá del horizonte de eventos del agujero negro no pueden cruzarlo a menos que viajen más rápido que la luz. En otras palabras la luz no escapa de este horizonte y por esto no podemos ver el agujero, ni a nuestro amigo que va rumbo a la desgracia.

En este caso el efecto Unruh también se presenta para nosotros, afuera del horizonte de eventos, lo que permite entender en primera instancia el efecto cuántico conocido como radiación de Hawking, descubierta por Stephen Hawking a finales de los setenta, mostrando cómo los agujeros negros se evaporan emitiendo radiación térmica. La radiación Hawking y sus posteriores paradojas condujeron  a uno de los descubrimientos más impactantes de la física en toda su historia, la correspondencia gravedad/teoría de gauge, pero esta no es la publicación para hablar de la radiación Hawking ni de la correspondencia (un abrebocas acá).

Otro sistema donde se presenta un horizonte de evento es en el universo mismo. A finales de la década de los noventas se encontró que nuestro universo no sólo se está expandiendo sino que lo hace aceleradamente (un poco sobre esto y el modelo ΛCDM acá). Esto implica que cada observador tiene un horizonte de eventos y para este parte del universo está continuamente desapareciendo, cuando las galaxias, que se están alejando de él, cruzan este horizonte. Es por esto que comúnmente se habla del universo como un agujero negro invertido.

Aún más

Espero la explicación del horizonte de Goku haya sido lo suficientemente clara para que algún lector ya se haya percatado que no es totalmente cierto lo que expliqué sobre las señales de Milk. En efecto si suponemos que ella continua enviando sus mensajes, sin importar que Goku cada vez se retrase más con los suyos y no responda las preguntas que esta le hace en los suyos, estos mensajes continuarán viajando persiguiendo a Goku. Cuando este llega a Namek debe frenar y en algún momento su velocidad es nula, pues suponemos que Namek está a una distancia fija a la Tierra. En este punto de frenado la línea de mundo de Goku cruza el horizonte que tenia mientras aceleraba y los mensajes comienzan a llegar uno tras otro, así que Goku no se pierde ninguna de las noticias de la Tierra.

Existen gran cantidad de detalles que podemos analizar en el marco de la relatividad especial. Por ejemplo determinar cuanto tiempo, para los amigos de Goku, demoró en llegar a Namek, si para Goku pasó una semana de viaje y entrenamiento. También, sabiendo la duración del viaje, podemos determinar cuanto combustible necesita la nave, si suponemos que esta es de máxima eficiencia, lo que se conoce como naves fotónicas, o similarmente calcular cuanto peso pierde nuestro legendario Super Sayajin cada vez que realiza un Kame Hame Ha, pero mejor dejarlas para otros parciales.

Bibliografía.

[1] Sobre la teoría especial de la relatividad, J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2005.

[2] Relatividad especial [problemas selectos], J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2009.

[3] Classical Electrodynamics, J. D. Jackson,  John Wiley & Son, 1998.

[3] An Introduction to Black Holes, Information And The String Theory Revolution: The Holographic Universe, L. Susskind & J. Lindesay, World Scientific Pub Co Inc, 2004.

Agradecimientos:

Me complace agradecer las juiciosas revisiones, correcciones y comentarios de Catalina Reyes-Suarez y Wilson Gamboa. También los comentarios de Ludving Marenco y Fabian Medina.

Quiere tu idea, comunícala bien

En una era en que la investigación básica puede decirse que está en su apogeo, con el esfuerzo planetario por comprender las estructuras fundamentales de la materia a través del experimento LHC en el CERN, resulta paradójico que la ciencia aparezca cada vez menos entre las prioridades evidentes a la sociedad (incluso en lo que denominamos primer mundo). Esto se puede entender en parte debido a que los científicos, y admito que principalmente los teóricos como yo, damos por descontado la importancia de lo que hacemos y que de no ser por la necesidad de conseguir recursos y apoyo no nos vemos obligamos a abrir nuestros descubrimientos más allá de las publicaciones especializadas y congresos. Así, en una sociedad cada vez más visual y pragmática, nuestros estudios aun siendo importantes no dejan de ser sólo de interés para un grupo reducido de científicos.

«La Física es como el sexo: seguro que da alguna compensación práctica, pero no es por eso por lo que la hacemos.»— Richard Feynman

Alrededor de esto discute el artículo «Who cares about physics today? A marketing strategy for the survival of fundamental science and the benefit of society» (¿A quien importa la Física hoy? Una estrategia de marcadeo para la supervivencia de la ciencia fundamental y el beneficio de la sociedad) por el astrofísico Dr. Umberto Cannella, que encontré hace unas semanas mientras investigaba para el curso seminario de grado de la maestría en ciencias-física de la UPTC. En este artículo se argumenta cómo involucrar la sociedad es necesario para el desarrollo de las ciencias fundamentales, y explora varias herramientas (muchas de ellas ya en práctica y que recomiendo vean) para acercar y hacer consciente a la comunidad de lo que se puede hacer con la ciencia. Algo en lo que estoy completamente de acuerdo con Cannella, es la idea que la apropiación por parte de la sociedad de lo qué es la ciencia permite comprenderla además como un proceso altamente creativo y, por tanto, aun si las aplicaciones no son evidentes contribuyen al desarrollo de la humanidad.

Sobre este punto pienso que es evidente que los niveles de creatividad que la ciencia logra han sido subestimados (una muestra de eso son las películas de ciencia ficción de hace un par de décadas que se quedan siempre cortas con el presente) y siguen siéndolo. Tanto es así que si se le pide a la gente que relacione la palabra creatividad podrán mencionar varias artes en la lista, incluso artesanales, pero las ciencias siguen viéndose como una formula rígida y fría, incluso estática. Y la hemos subestimado también nosotros como lo muestra la famosa frase de Lord Kelvin «máquinas voladoras más pesadas que el aire son imposibles» o su otra perla «no queda ya nada nuevo por descubrir en Física, solo quedan por realizar mediciones cada vez más precisas».

«La inspiración es igualmente necesitada en geometría como en poesía.» — Alexander Pushkin

Tal vez peque por ingenuo pero creería yo que cuando una sociedad comprende el poder de la ciencia ve también lo rentable y económica que es. Es más, así como las artes, puede llegar a ser un proceso creativo de entretenimiento masivo pues la ciencia es un juego que todo ser humano intenta practicar, aunque no necesariamente de manera «formal». Esto se ve en particular si partimos del hecho que la ciencia es realmente el arte de formular preguntas, que es la única característica que dramáticamente nos separa del resto de animales, incluyendo los que logran niveles de comunicacion supuestamente avanzados (ver minúto 6 de este entretenido video).

No quiero profundizar más en la importancia de la ciencia para la sociedad, una discusión más bien vieja y en la que no creo pueda contribuir mucho, y  más bien los invito a que al menos den una mirada el artículo de Cannella, y los enlaces allí propuestos como ejemplos, que me motivan aun más a seguir con este blog… a pesar de las deficiencias temporales y mentales. Quiero en cambio resaltar una ventaja que da el esfuerzo por comunicar la ciencia a los profanos o neófitos  que es el punto que hemos tratado de abordar este semestre en el seminario de la maestría.

                                               Un buen discurso por Brian Cox sobre ciencia

Algo que creo evidente para todos los que hemos estado en el medio científico formal, comenzando por la academia, es la dificultad que tienen la mayoría de los profesores para hacer una clase entretenida. Esto incluso teniendo la ventaja de tener un público con un interés elevado en el tema como es el caso de la educación superior, y me atrevo a decir que esto tiene dos raíces: primero, el hecho que, en general, la enseñanza se subestima en el sentido que se cree, erróneamente, es un proceso inconexo al investigativo, siendo este último para el cual supuestamente fuimos preparados en nuestro doctorados. Y segundo, pero relacionado, la incapacidad que tenemos para expresar de forma clara ideas, incluso las propias.

«Aburrir con una clase de Física es un crimen.«— Walter Lewin

Personalmente considero que la enseñanza, aunque lamentablemente no presenta en general un proceso científico investigativo, obliga a cultivar el reto de destilar las ideas de tal forma que estas tomen nuevos matices y puedan ser vistas desde distintos puntos de vista. En mi caso, por ejemplo, cuando comencé a dirigir clases encontré, ademas de un vasto vació, la posibilidad de cada día refinar lo que ya sabia e iba aprendiendo. Llegando al punto de tener una visión propia del tema que además podía comunicar de forma más clara y sencilla. Este último punto es vital en el medio científico, donde el juego creativo es colectivo y por tanto la interacción, lograda a través de la comunicación, juega un papel fundamental.

Compartir y asimilar ideas es el pilar de la ciencia moderna y no sólo un problema de abrir nuestro quehacer al público general.

Un puente de comunicación entre la sociedad y el medio científico es lo que precisamente abordan, por el momento, proyectos como este en unión con varias entidades colombianas o los programas de maestría en comunicación de la ciencia, algunos de los cuales son: SISSA, Northwestern, MIT,  Johns Hopkins y Stonny Brook. Este último, se materializó con la creación del Centro para la Comunicación de Ciencias que tiene una historia particular: uno de sus fundadores es el actor Alan Alda, mejor conocido en el medio científico por ser el presentador del programa televisivo Scientific American Frontiers y últimamente como parte del World Science Festival organizado por el físico teórico y divulgador Brian Green.

La idea aparece cuando Alda se pregunta cuál es la raíz de esta incapacidad generalizada en el medio científico, y descubre que las peculiaridades entre malos, buenos y excelentes expositores eran muy parecidas a las presentadas entre actores malos, buenos y excelentes en improvisación (aca un video donde lo explica pero que lamentablemente no permite ser adjuntado al blog). Viendo esto decidió comenzar un experimento donde invitaba a científicos a un par de talleres en improvisación, con resultados tan evidentes que, además de establecerse como parte integral del programa de la maestría en comunicación,  comenzó a ser solicitado por programas en otras universidades de los Estados Unidos. Los resultados se ven reflejados también en la capacidad para exponer formalmente un trabajo técnico, por lo que incluso han comenzado a involucrarse estudiantes de doctorado, posdoctorado y profesores que desean potenciar el impacto de sus trabajos dentro de la élite científica.

Una muestra del taller en improvisación para científicos.

Los talleres, que incluyen otros módulos ademas del de improvisación, hacen marcado énfasis en la identificación de los puntos MOTIVADORES y CLAVE del trabajo que uno como científico desarrolla, y el reto de poder DESTILAR LA IDEA lo mejor posible. Y es que simplificar la idea es algo que lamentablemente muy a menudo sacrificamos desde el principio en nuestro oficio, sin darnos cuenta que oscurecer estos puntos no sólo genera confusión sino que además evidencia desconocimiento y poca apropiación de lo expuesto. De esto último se entiende que tener  bien presente estos puntos y expresarlos claramente, algo que necesariamente implica dominio del tema, es una de las principales herramientas para cautivar al lector, o escucha, y hacer que este se interese y se vea involucrado, de tal forma que el impacto que la idea pueda tener se vea a menor plazo.

En este orden de ideas, en el seminario de trabajo de grado decidimos enfrentar este problema y personalmente creo que ha sido muy enriquecedor. Así, además de las exposiciones usuales que se hacen en este tipo de cursos, seguidos de una discusión critica sobre el trabajo del expositor, se proponen otro tipo de actividades: en la primera reunión se pidió a cada participante una exposición espontánea de dos minutos sobre lo que está realizando en su trabajo de grado. Acá se evidencio inmediatamente el problema de no poder, o no saber, identificar el punto clave del trabajo. Se puede decir que las motivaciones también muchas veces son oscuras para el estudiante incluso de posgrado, por lo que se pide que escriban brevemente por qué su trabajo particular, y la física en general, deben ser comunicados; Para la primera presentación se pide una charla tipo coloquio dirigida a los demás participantes, muchos de los cuales no manejan el tema del trabajo. En este ejercicio se busca un primer intento de estudio del público, parte esencial de cualquier proceso comunicativo, al ponerse en el papel del que escucha y lee para saber cómo y de qué forma presentar la idea. También el dominio del tiempo es algo que se trabaja, pues las restricciones temporales fuerzan al expositor a identificar y destilar lo mejor posible los puntos cruciales del trabajo, sacrificando adornos que en general sólo oscurecen la idea principal; en este punto hacemos un ejercicio bastante divertido, inspirado en el concurso «el reto de la llama», pidiéndole a los participantes que nuevamente expongan lo que están realizando en su trabajo de grado pero ahora pensando en un público distinto. Así, por ejemplo, varios vivieron la difícil tarea de explicar su trabajo pensando en una audiencia compuesta por niños de primeros años de primaria, requiriendo un esfuerzo aun mayor en comprender y destilar lo que no se puede dejar de decir del trabajo.

Video ganador del Reto de la llama

Los próximos retos que esperan a los participantes de seminario son: una charla tipo workshop, que tal vez sea el ejercicio más sencillo de los que haremos, buscando también recordar que destilar un mensaje no debe ser sinónimo de no ser preciso y riguroso en la exposición. Contaremos además con un actor profesional del Teatro la Candelaria, quien guiará una serie de talleres en improvisación donde experimentaremos en carne propia la experiencia reportada por Alda. Con el taller no se busca que nadie se convierta actor, ni siquiera que dé como resultado un Baila tu PhD o algo por el estilo (aunque seria genial) sino iniciar a descubrir herramientas que permitan conocer mejor los efectos de la expresión corporal y verbal, permitiendo utilizarlos con más seguridad y personalidad; además de poder tener una lectura rápida de lo que el público está recibiendo. Finalmente, haremos una charla en un estilo que va en el límite entre coloquio y Journal Club dirigida a los estudiantes de la carrera de Física, donde se espera que los expositores pongan en práctica ante un público variado los problemas antes abordados. En la parte de escritura jugaremos un simulacro de arbitraje con dos artículos que entregaran durante el semestre, donde parte del comité de arbitraje serán los mismo participantes.

Una propuesta distinta para comunicar la ciencia

Como dije anteriormente, creo que este experimento es necesario y útil cuando uno se está preparando a dar a luz una idea, y esta no es sólo una impresión personal sino que ha sido ampliamente expresada por los participantes y reflejada en el entusiasmo con que han abordado el curso. 

P.D. En consonancia, considero que debo compartir también estos tres artículos de opinión recientes con clara relación a lo que se expone acá: sobre la dudosa definición de ciencia inútil (sobre todo en un planeta donde un buen porcentaje de los oficios son inútiles e incluso contraproducentes, como los soldados para matar) y sobre las universidades en la era digital art1 y art2.

Agradecimientos. A las detalladas correcciones y comentarios de Nelson Amaya y Catalina Reyes-Suárez sobre una versión preliminar del escrito. A los participantes del seminario por ser parte del experimento.