Ondas gravitacionales. Nuevos ojos para la humanidad.

El pasado martes anunciaron el premio Nobel de Física para este año que, casi sin sorpresa, fue otorgado a Rainer Weiss,  Barry C. Barish y Kip S. Thorne , en ese orden, por sus contribuciones al experimento LIGO y la detección de ondas gravitacionales. Es una situación interesante pues con apenas 4 eventos observados hasta el momento es considerado uno de los logros más grandes de la humanidad. Un siglo tuvimos que esperar para superar la dificultad técnica de ser capaces de detectar oscilaciones del tamaño de fracciones del núcleo atómico, pero eso no es todo. Para detectar una ola en el mar, por ejemplo, basta con colocar un flotador en la superficie y ver su movimiento (cambios de altura), y para una onda electromagnética la detección de una corriente, (electrones moviéndose) cuando esta pasa. En cambio con las ondas gravitacionales la situación es bien diversa: ya no podemos hablar de movimiento en forma tan despreocupada pues cuando nos referimos a movimiento estamos hablando de cambios de posición en el espacio a través del tiempo, y con las ondas de gravedad lo que oscila es precisamente el espacio, y el tiempo también. La cuestión de estas mediciones es suficientemente compleja como para que no me atreva a tratar de explicarla como no me siento incluso con la convicción de que yo mismo la entienda. Quiero sin embargo hacer un paralelo con otra instancia histórica que puede ayudarnos a entender la magnitud de la situación en la que nos ha puesto este descubrimiento.

De un lado al otro con con las ondas electromagnéticas

A mediados del siglo XIX James Maxwell reunía, completaba y expresaba de manera general las leyes del electromagnetismo, que en forma compacta matemática presentó como

El segundo término de la última ecuación era algo nuevo en la Física e implica la existencia de las ondas electromagnéticas, que además no necesitaban de ningún medio para propagarse (se trasladan incluso el vacío). Este último detalle causó malestar en la comunidad científica del momento. Hoy por hoy estamos rodeados de ondas electromagnéticas producidas por los humanos(la señal de WIFI o de celular con la seguramente logró acceso a esta entrada son un ejemplo), pero en aquella época tomó dos décadas para que pudieran ser generadas y detectadas controladamente para así poder establecer, por ejemplo, su velocidad.

El experimento llevó a cabo Heinrich Hertz en 1887,  una década luego de la muerte de Maxwell, generando ondas a partir de la chispa que saltaba entre dos electrodos enfrentados. A cierta distancia se encontraba un receptor, constituido también por dos electrodos enfrentados, entre los cuales saltaba una chispa cuando la onda pasaba. Los resultados de Hertz fueron conclusivos y la teoría de Maxwell tomó fuerza para ser aceptada.

Dibujo esquemático del experimento de Hertz

Menos de una década paso para que Nikola Tesla ideara la forma de utilizar este nuevo tipo de onda para trasmitir información inalambrica, con lo que hoy conocemos como radio, y aun así nadie en ese momento imaginó siquiera lo que implicaría para la humanidad. Cómo, apenas medio siglo después, prácticamente se convertirían en parte fundamental de la sociedad moderna.

Algunas de las muchas aplicaciones que hoy por hoy tienen las ondas electromagnéticas.

Sin embargo, Hertz en su experimento también encontró algo inusual. Al colocar una pantalla opaca entre el emisor y el receptor pudo observar que el brillo de la chispa era menos intenso. Viendo más detenidamente este fenómeno, determinó que los objetos cargados perdían carga más fácilmente cuando eran iluminados. Para ser precisos con luz de alta frecuencia, lo que denominamos Ultra Violeta (UV). Los intentos por explicar la naturaleza de este fenómeno, que dependía de la frecuencia y no de la intensidad de la luz, fueron infructuosos utilizando la joven, poderosa y vigorosa teoría de Maxwell. En efecto, la teoría de Maxwell además concluye que la luz no es otra cosa que una onda electromagnética de frecuencia particular. Por lo que de ser correcta podría explicar también este fenómeno.

Distintos tipos de ondas electromagnéticas y sus emisores. Tomado de la página del experimento ALMA en Chile.

De hecho, el experimento de Hertz estaba simultáneamente mostrando que la teoría de Maxwell no es la correcta. En 1905 Einstein explica el fenómeno descubierto por Hertz, hoy llamado fotoeléctrico, abandonando la idea de que la luz sea una onda y rescata la naturaleza corpuscular, a la Newton, con partículas que llamamos fotones. Aun hoy es difícil conciliar con el sentido común que la luz sea onda, como dice Maxwell, y, a la vez, corpusculos. Pero gracias a esto se da el nacimiento de lo que hoy conocemos como la mecánica cuántica, base de la Electrodinámica Cuántica, que remplaza a la de Maxwell. Nos queda como moraleja que un experimento que inicialmente parecer ayudar a establecer una visión de mundo puede tornarse en contra, digamos, de aquella visión que favorece. O sea, como se dice popularmente «Nadie sabe para quién trabaja».

La era de las ondas gravitacionales. La cúspide del reinado de Einstein

También en 1905 Einstein, basado en los estudios de Maxwell, plantea una teoría que termina por echar por el suelo la mecánica de Newton, y por la que se hace famoso. La teoría de la relatividad. Esto fue sólo el inicio de una intensa década que resultó en la teoría general de la gravitación (de la que ya hemos hablado en otras oportunidades) que, como la de Maxwell, predice ondas. Estas también viajan a las velocidad de la luz y, hasta donde sabemos, las ondas que los humanos podemos generar en el momento son prácticamente imposibles de detectar. Con la tecnología actual para tener chance de observarlas es necesario esperar un evento de magnitud cósmica, como el choque de dos agujeros negros (objetos también predichos por la teoría de Einstein).

Representación visual del suceso visto por LIGO

Las cuatro señales hasta ahora reportadas por LIGO, y ahora también VIRGO, son precisamente de esta índole. Dos agujeros negros danzando uno alrededor del otro a una distancia de la Tierra de ¡mil millones de años luz! (o sea una danza que ocurrió hace mil millones de años). Pero próximamente se espera tener el poder de detectar danzas menos exóticas. Esta vez con estrellas de neutrones, abriendo, de paso, la puerta a observar algo que nos diga que la teoría de Einstein no es la correcta, como le sucedió a Maxwell. De hecho ya tenemos pistas para pensar en esto.

Si fueran ondas de sonido se escucharían así. Primero en la frecuencia original y luego elevada que sea mejor apreciado por el oído humano.

En el año 2011 otorgaron a Saul Perlmutter, Brian Schmidt y Adam Reiss el premio Nobel de Física por la detección de la expansión acelerada del universo. Antes de 1999, año de su observación, pensábamos que el universo se expandía con velocidad constante y los Físicos trabajaban duramente para explicar una aceleración cero pues las teorías existentes predicen en general valores no nulos. Sin embargo, un valor nulo puede explicarse si, por ejemplo, alguna simetría del universo prohibiera valores distintos de cero. Así que por décadas se buscó esta dichosa simetría que no era evidente. Cuando se supo que esta aceleración no era nula, prácticamente todo se vino al traste y debimos comenzar de nuevo. En efecto, el valor medido es increíblemente pequeño, y nuestras predicciones sobre su valor, más precisamente sobre la causa de esta, entregan un número con 120 ceros más a la derecha que el observado. ¡La peor predicción de la historia de la ciencia! Muchos creemos que para entender lo que está sucediendo debemos comprender lo que pasa más allá de la teoría de Einstein. En el recóndito punto donde la gravitación y la mecánica cuántica se encuentran.

Por lo que entendemos estamos aun lejos de poder detectar directamente ondas gravitacionales de origen cuántico (sin embargo, pueden estar ya en la bandeja) y los gravitones, que serían los análogos a los fotones. Pero, nuevamente, esto es sólo basados en lo que conocemos, que puede estar equivocado. Así las cosas la situación es similar a la de finales del siglo XIX cuando nadie sabia bien qué era o para qué podían servir la ondas electromagnéticas. Pero estas nos permitieron ver el universo con nuevos ojos que cambiaron la historia, de la humanidad y de la teoría que las predijo.

¿Qué nos deparará el futuro? ¿Qué nuevos fantasmas invisibles aprenderemos a ver en los próximos años? ¿Qué hay más allá de Einstein? ¿Tendremos que replantear también la mecánica cuántica? ¿En qué parte del planeta se encuentran, si ya nacieron, los nuevos Einstein, Hertz y Tesla? Eso nadie lo sabe. Por suerte, como dice Lawrence Krauss, los científicos amamos no saber.

¡Nos seguimos leyendo!

La gravedad y la luz: cuando recto no es lo correcto

Está por finalizar el »Año internacional de luz» que  además de conmemorar el aniversario de varios eventos de relevancia científica y tecnológica relacionados con la luz, busca recalcar en el consciente de la sociedad cómo la luz ha sido, es y seguramente será fuente de bienestar, inspiración y creación en la humanidad. Simultáneamente celebramos los cien años de publicación en su forma final de la relatividad general de Einstein, la cual generaliza las conclusiones de la relatividad especial al incluir la gravitación. Es interesante notar que la elegancia de la teoría propuesta por Einstein le valió su fama a pesar que durante unas cuatro décadas se le considerara un área árida de la física con ninguna aplicación en la vida diaria e incluso en las observaciones cosmológicas. En la década del sesenta, con mejores métodos de medición y de telecomunicación esto comenzó a cambiar y hoy por hoy sabemos que la relatividad general impacta desde los sistemas de posicionamiento global hasta las observaciones de precisión del cosmos.

La idea fundamental de la teoría nos indica que el espacio-tiempo, que es donde nos movemos, debido a la gravedad es dinámico y flexible, y en particular las líneas rectas no simpre son como las dibujamos en el cuaderno. Para ser más precisos podemos utilizar un rayo de luz como la definición de línea recta, un comportamiento bien familiar para todos.

Show Laser. Los rayos laser siguen trayectorias claramente rectas.

La luz al pasar de un medio a otro sufre cambios en su velocidad de propagación. Esto se refleja en un ángulo de desviación de su trayectoria original.

También conocemos que esta trayectoria se dobla cuando pasa de un medio a otro, en lo que llamamos refracción, debido a un cambio en la velocidad de propagación de la luz en distintos medios. Fenómeno que permite que funcionen desde los pequeños lentes del microscopio hasta los gigantes de los telescopios espaciales. Bien, pero mientras la luz este en el vacío, o en un sólo medio, es de conocimiento común que el puntero Laser forma una línea recta. Ahora bien, supongamos que un rayo de luz se propagaba horizontalmente dentro de un sistema acelerado hacia arriba. Un observador fuera del sistema verá que el rayo golpea la pared en un punto inferior a la horizontal debido a que el sistema sube aceleradamente. Un observador adentro coincide con el anterior pero su explicación es que la luz va experimentando un cambio en su velocidad vertical de modo que su trayectoria se va inclinando cada vez más y lo que observamos dentro de este sistema acelerado dista de las líneas rectas que estamos acostumbrados. Claro está que para observar estos efectos la aceleración debe ser increíblemente grande o las distancias enormes para percibir esta curva.

Al acelerar hacia arriba la trayectoria de la luz se ve inclinada hacia abajo.

Dos personas caminando desde el ecuador hacia el norte piensan, al principio que nunca se cruzarán. La curvatura del espacio hace que aun siendo paralelas se intercepten.

Los espacios a los que nuestro cerebro se ha adaptado son espacio donde por ejemplo las líneas rectas paralelas no se cruzan, y eso ya lo formalizaron los antiguos griegos y por esto los llamamos espacios euclidianos o planos. En estos espacio además suceden cosas como el teorema de Tales o que la suma de los ángulo internos de un triangulo sea 180 grados, pero es posible pensar en espacios donde esto no ocurra y que denominamos espacios curvos. Por ejemplo en la superficie del globo terráqueo podemos dibujar líneas rectas paralelas, que llamamos meridianos, las cuales son paralelas a la altura del ecuador pero que se cruzan en los polos. O el triangulo mostrado en la figura vemos que la suma de ángulos es 90+90+90=270 grados. Lo interesante es que para alguien que sólo tenga información local del globo terráqueo, como nosotros cuyo campo de visión no es más allá de unas decenas de kilómetros estas dos rectas no se cruzarán. Así se dice que todo espacio curvo localmente se comporta como uno plano, y por ejemplo el teorema de tales se sigue satisfaciendo aproximadamente mientras tomemos rectas y triángulos  suficientemente pequeñas.

El punto crucial ahora es retomar el teorema de equivalencia que ya alguna vez discutimos que permite concluir que el mismo comportamiento observado en el sistema acelerado tendrá la luz en un campo gravitatorio, o sea ¡la gravedad implica que el espacio-tiempo es curvo! De ahí que usualmente se diga que gravedad es equivalente a geometría del espacio-tiempo.

Este fenómeno nos da también una idea de lo que debemos hacer si queremos comprobar esta teoría. Debemos observar, y si es posible medir, este efecto el cual se revelerá cómo un corrimiento entre la imagen aparente de un cuerpo y su posición real cuando la luz que este proyecta pasa cerca a un cuerpo que deforma el espacio tiempo de forma considerable, justo como ocurre cuando tratamos de dar en un blanco que está bajo la superficie de la agua.

Imagen distorsionada debido a la refracción.

La imagen del objeto se ve corrida de su posición original debido a la desviación que sufre la luz. En este caso por refracción.

En este caso será la imagen de las estrellas lejanas al pasar cerca a una estrella cercana, como el Sol.

 

La curvatura generada por la masa del Sol desvía la luz proveniente de una estrella cambiando su posición aparente.

Analisis dimensional y ángulos desviación de la luz

Para poder estimar cuanto se desvia un rayo de luz al pasar cerca a una masa esférica como el Sol podemos utilizar análisis dimensional. En pocas palabras el análisis dimensional tiene en mente que, cuando cuantificamos el universo,  además de los valores existe otra propiedad que distingue entre las cantidades medidas. Así distinguimos una medida de tiempo de una de distancia y decimos que son cantidades básicas .  Existen también cantidades que son derivadas de estas como la velocidad

De este modo se tiene que dos cantidades pueden ser iguales sólo si las dimensiones -veces que aparecen las cantidades básicas- de tiempo y distancia son iguales. Por ejemplo, el tiempo que me toma en llegar al supermercado puede ser directamente proporcional a la distancia que me separa de este,  e inversamente proporcional a la velocidad con que me muevo

pues en ambos lados las dimensiones son iguales, algo que denotamos utilizando los paréntesis cuadrados:

En la anterior debemos notar que utilizamos el simbolo que denota proporcionalidad, que nos indica que existen cantidades numéricas que no conocemos pero que de todas maneras no afectan el análisis dimensional pues no tienen dimensiones, que llamamos cantidades adimensionales. Para nuestro análisis necesitaremos una cantidad básica más, la masa, con la cuál podemos construir las fuerzas. Utilizando la segunda ley de Newton -la magnitud de la fuerza aplicada sobre un cuerpo está dada por la multiplicación de la masa del cuerpo y la aceleración que este experimenta- se tiene que las dimensiones de fuerza son,

Por otro lado nos interesa calcular un ángulo de desviación, que es una cantidad sin dimensiones, pues los ángulos, , pueden entenderse como la distancia barrida por el giro, , dividida por la distancia al centro de giro, :

Cabe mencionar que los ángulos definidos de este modo tienen un valor dado en unidades de radianes. Por ejemplo, el ángulo barrido por el radio de un círculo en una circunferencia, es

de la bien conocida formula para el perímetro del círculo.

En conclusión, si queremos obtener el ángulo de desviación debemos construir, a partir de posibles cantidades involucradas en el fenómeno, una cantidad sin dimensiones.

Ángulo de desviación de la luz por un cuerpo esférico

Para proceder debemos identificar primero los posibles parámetros – cantidades- que pueden aparecer en este fenómeno. Para esto recordemos que aunque la gravedad de Einstein es una generalización de la de Newton aun debe reducirse a la ley universal de la gravitación en en las situaciones que esta es aun precisa. Para esta tenemos que la fuerza experimentada por dos cuerpos esféricos está dada por

con y las masas de los cuerpos, la distancia del centro de uno al centro del otro y la constante universal que determina la intensidad de esta interacción y además fija las dimensiones de tal forma que a ambos lados de la ecuación obtengamos una cantidad con dimensiones de fuerza.

Tenemos, entonces, que el ángulo que buscamos debe depender de la masa del cuerpo y de la constante universal. También de la distancia, pero en el caso que se trata de una trayectoria donde la distancia esta cambiando continuamente no es claro qué distancia debemos utilizar. Una distancia característica de la trayectoria es la distancia mínima a la que pasa el rayo de luz, y que denotamos . Otra distancia posible sería el radio de la masa esférica, sin embargo, para la gravitación los efectos de una masa esférica son los mismos que los debidos a una masa puntual, o sea de radio nulo, donde se concentra toda la masa. Por lo menos para los fenómenos que ocurren más allá del radio de la masa esférica. Así que la única distancia disponible es . Ahora bien, con la luz no tenemos una masa, de hecho los fotones, partículas de luz, no tienen masa. Sin embargo, tenemos una propiedad que la hace muy particular, como lo sabia Einstein desde sus postulados de la relatividad Especial y es su velocidad de propagación . En resumen tenemos la siguiente situación

Parámetro	Simbolo	Dimensiones
Masa cuerpo		Masa
Distancia Mínima		Distancia
Constante gravitacional
Velocidad de la luz

Para ser precisos existe otra distancia que es la longitud de onda, o equivalentemente la frecuencia, que determina el color del rayo de luz. Sin embargo, supondremos que las distancias de relevancia en el sistema son mucho más grandes que esta y podemos considerar la luz como un simple rayo sin considerar sus propiedades ondulatorias. Estas deberan ser consideradas si queremos ver los efectos cuánticos involucrados.

Con estos parámetros tenemos que la única opción es que el ángulo de desviación tenga la siguiente expresión

pues sólo de este modo se logra una cantidad sin dimensiones. La expresión como tal es en cierto modo de esperar. Entre más fuerte sea la interacción gravitacional, esto es $G$ sea más grande, o el cuerpo sea más masivo, $M$ más grande, la curvatura del espacio será mayor y por tanto el ángulo. Caso contrario ocurre si agrandamos la distancia entre el cuerpo y la trayectoria, esperando que para grandes distancias el ángulo sea casi nulo. Así mismo si la velocidad de la luz es infinita, cómo lo es en la mecánica de Newton, la luz no debe verse desviada, como concluimos de nuestra expresión. Aun así, si queremos comparar con un experimento debemos precisar la constante de proporcionalidad que nos daría el valor del ángulo predicho. Antes de hacerlo aclaro que el ángulo también podría ser una función de la cantidad encontrada, de modo que nuestro resultado esperamos sea sólo válido para ángulos muy pequeños.

En su artículo de 1911 Einstein hace un primer intento por cuantificar los efectos de la gravedad en la luz utilizando una versión inicial de la teoría de generalizada de la gravedad, como la llamaba al inicio. En esta, con la única consideración del principio de equivalencia, Einstein encuentra

Para el Sol y un rayo de luz pasando por su borde esto implica un ángulo de desviación de 0.85 arcsegundos. Pensemos que 3600 arcosegundos son 1 grado y que la luna llena cubre de extremo a extremo medio grado, o sea 1800 arcosegundos. Esto nos muestra que aun con el sol este efecto es pequeño. Interesantemente este mismo resultado había ya sido encontrado más de cien año atrás por el astrónomo Johann Georg von Soldner en 1801 utilizando la teoría corpuscular de la luz siguiendo una idea aislada de Newton en el cierre de su tratado en óptica. El resultado de Soldner cayó en el olvido por el auge que tenía en ese momento la teoría ondulatoria de luz además del valor minúsculo del resultado que lo hacia imposible de verificar experimentalmente. su artículo sólo fue revivido brevemente por Físicos Nazis a inicios de la década de los 20 en un intento por desacreditar la teoría del cada vez más famoso Einstein.

Ya que la teoría inicial de Einstein de la gravitación consideraba solamente el principio de equivalencia, por lo que es de esperar que sus resultados coincidan así sea aproximadamente con los de cualquier otra teoría que tenga este principio en cuenta, cómo en el cálculo de Soldner. En 1916, cuando tiene una propuesta final de su teoría general, que incluye la curvatura precisa del espacio además del principio de equivalencia, Einstein vuelve a atacar el problema. En esta ocasión encuentra

conincidencialmente exactamente el doble del caso clásico, que para un rayo de luz pasando apenas por la superficie del Sol es de 1.75 arcosegundos, un valor con posibilidades de ser verificado experimentalmente, cómo posteriormente lo hiciera Sir Arthur Eddington en el eclipse de sol del año 1919, con valores observados de

correspondientes a los dos puntos de observación en el planeta. Estos definitivamente descartan el resultado de la teoría de Newton, encontrado por Soldner, y favorecen el de Einstein. Para hacernos mejor la idea de la magnitud del fenómeno, y por tanto la dificulatad de la medición, veamos la siguiente figura que muestra un rayo de luz pasando por la superficie del sol en una trayectora hasta la Tierra.

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea el Sol. El rayo de luz, en rojo, prácticamente se superpone a una línea recta en azul punteado.

Como vemos las dimensiones del dibujo no dejan distinguir el caso del rayo desviado en rojo con el directo en azul punteado. Para ver los efectos en un dibujo a estas escalas necesitamos un estrella más grande. Por ejemplo si tomamos una estrella con mil veces la masa del Sol pero con el mismo tamaño tenemos un ángulo de desviación de casi 1800 arcosegundos, !una Luna llena!, y la figura se vería cómo

Vista cercana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea  una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Vista lejana de la trayectoria de un rayo de luz que bordea una estrella del tamaño del Sol pero mil veces más masiva.

Teoría de Brans-Dicke

Para nuestro caso sólo contamos con el Sol para hacer estas observaciones y las incertidumbres grandes en los resultados encontrados hasta inicios de los 60, aunque descartan los predicho por Newton, dejaban abierto el valor preciso del ángulo y por tanto la teoría que lo explica.

En efecto el anterior resultado para el ángulo de desviación es propio de la gravedad de Einstein, la cual dista de ser la única posible. Existe, por ejemplo, otra propuesta conocida como escalar-tensorial o de Brans-Dicke donde se abre la posibilidad que la constante universal no sea una constante sino que sea un número dictado por el contenido de materia en el universo observable. Esto en el espírito de lo que hoy generalmente se denomina principio de Mach. El efecto neto es que la forma en que se mide en el universo dependerá de un parámetro libre $latex\omega$, y el ángulo de desviación queda dictado por:

De modo que si $latex\omega$ es muy grade los resultados de de la teoría de Brans-Dicke y la de Einstein coinciden muy bien. A finales de la década de los 60’s una serie de experimentos pusieron en duda la esfericidad del Sol, y los datos experimentales parecían favorecer la teoría de Brans-Dicke con $latex\omega=7$. Para este $latex\omega$ tenemos un ángulo de desviación de $1.66$ arcosegundos el cuál necesita muy buena resolución para ser distinguido del de Einstein. Esta resolución se logra con experimentos de la década de los 70 e imponen sobre el valor de $latex\omega$ un límite inferior de más de 500. Al ser más sencilla la propuesta de Einstein hoy por hoy decimos que esta es la descripción correcta de la gravitación.

Agujeros negros

¿Qué pasa si dejamos la misma masa para el Sol pero disminuimos su radio quinientas mil veces? Este radio coincide con el radio de Schwarzschild para el Sol, y es el tamaño crítico para que el Sol se convierta en agujero negro. En este caso los efectos son claramente visibles y las trayectorias para los rayos de luz se verían de la siguiente forma

Trayectorias de un rayo de luz cerca a un agujero negro.

En realidad esta gráfica ha sido dibujada utilizando sólo la aproximación de ángulos pequeños, que cómo vemos no es cierto en este caso, por tanto no podemos fiarnos de lo que esta nos dice. Sin embargo, no sería de extrañar que en campos gravitacionales fuertes, cómo los experimentados cerca a un agujero negro la luz se vea dramáticamente desviada. Este es una efecto que vemos en la película Interestelar que nos muestra una agujero negro, Gargantua, el cual está rodeado de un disco de gas, disco de acreción, con la materia que gira su alrededor. Esta materia emite luz, de la cual usualmente observamos sólo rayos X, y esta luz se ve desviada por el capo gravitatorio del agujero. Así, aunque el disco de acreción está en el ecuador del agujero, vemos una imagen de la parte de atrás en los polos, de modo que vemos el agujero cómo rodeado por una aureola luminosa.

El disco de acreción está sobre el ecuador, pero la luz de la parte trasera, en principio cubierta por el agujero, se observa en los polos debido a la desviación de la luz por la geometría del espacio cerca al agujero negro.

Lentes gravitacionales

Un fenómeno que se explica con la desviación de la luz y que ha venido siendo explotado en la astronomía son lo lentes gravitacionales. En este caso son las galaxias o grupos de estas, que con cientos de miles de millones de estrellas generan efectos visibles con resultados sorprendentes y artísticos. En este caso no es posible utilizar la consideración de cuerpo esférico y es necesario un formalismo general que interesantemente tiene analogía con la refracción de la luz al pasar por un medio, lo que refuerza aun más el que se les llame lentes.

La cara feliz cósmica captada por el telescopio Hubble. Es la combinación de varios anillos de Einstein generados por fenómeno de lente gravitacional.

Algo peculiar que ocurre cuando los efectos de la desviación de la luz son grandes es el hecho que podemos tener múltiples imágenes de un mismo objeto debido a que la luz puede tomar distintos caminos para llegar al mimos punto. Por ejemplo para el disco de acreción de Gargantua teníamos una imagen arriba y otra abajo. Sin embargo, usualmente estos caminos no tienen longitudes iguales y se tiene que las imágenes corresponden a tiempos diferentes y podemos observar un mismo evento varias veces. Esto es lo que sucede por ejemplo con la explosión de supernova Refsdal a nueve mil millones de años de distancia, que ya fue observada en el 2014. En este caso el grupo de galaxias MACS J1149+2223 está alineada con la galaxia donde se generó la explosión y sirve como un lente gravitacional que nos permitirá observar el evento de supernova nuevamente este 2016.

A modo de conclusión

El efecto de desviación de la luz no es la única relación que existe entre la relatividad general y la luz, recordemos simplemente que las ideas de Einstein se originaron de los trabajos de Maxwell sobre los campos electromagnéticos. Sin embargo, es un fenómeno que nos permite, como en esta entrada, recorrer desde la construcción misma de la teoría hasta las implicaciones cuantitativamente hablando, tocando de paso fenómenos que nos seguirán maravillando por siempre, y de este modo unirnos a la celebración de estos dos grandes eventos del año.

No puedo cerrar sin decir que aunque todos le deseamos larga vida a la luz, desearle LUX AETERNA a la teoría general de la gravitación sería desearnos menos emociones en el futuro. Muchas son las razones para esperar que tarde o temprano la luz brillará para una teoría más completa que la de Einstein. Materia oscura, ondas gravitacionales, agujeros negros y la energía oscura son instancias donde esperamos encontrar pistas sobre ese nuevo pilar de la ciencia.

P.D. No dejen de jugar un rato con esta aplicación que te permite crear tu propio agujero negro y ver los efectos apenas descritos en esta entrada.

Referencias

[1] A. Einstein, Uber den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes
(On the influence of gravitation on the propagation of light) Ann. Phys. 35
(1911), 898-908.

[2] A. Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitaetstheorie (The foundation
of the general theory of relativity). Ann. Phys. 49 (1916), 769-822.

[3] Clifford M. Will, El renacimiento de la relatividad general.

[4] Clifford M. Will, Was Einstein Right? 2nd Edition: Putting General Relativity To The Test, Basic Book, 1993.

[5] Einstein En-linea: Desviación de la luz y el principio de equivalencia.

[6] Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972.

 

Una cita con Sandra Bullock en órbita

Convertirse en astronauta e ir al espacio sigue estando entre los deseos más recurrentes de los niños, y es un sueño que seguimos compartiendo muchos adultos que, de todos modos, nos conformamos con poder mirar la Vía Láctea desde un lugar cercano a la casa. Además, por fortuna o desgracia, tenemos la facilidad de la realidad virtual que nos permite experimentar, casi, la sensación de estar en órbita. Tal vez por esto no dejan de entusiasmar películas como Gravity, de Alfonso Cuarón, donde además es una mujer la protagonista, Sandra Bullock, lo que puede animar aun más a las niñas a volar lejos.

En esta publicación quisiera acompañar a Sandra Bullock y experimentar junto a ella, desde otro punto de vista, sus vivencias en órbita. Una cita con la Bullock, wow, y en el espacio exterior, super WOW!. Sí, ya sé que ya pasó de moda, pero hasta hoy, por fin, termino este comentario alrededor de la película que, con su casi decena de premios Oscar, ya se convirtió en una referencia en el cine de ciencia ficción.

Atracción gravitacional en órbita y cero gravedad

Antes quisiera aclarar algo. La concepción que las cosas en la Estación Espacial Internacional, y en general en órbita, flotan debido a que se encuentran lejos, «fuera», de la Tierra donde, por tanto, la atracción gravitacional es nula no es cierta.  Si lo fuera la Luna no estaría acompañándonos como lo hace desde hace unos 4400 millones de años. En efecto, podemos evaluar la aceleración de la gravedad que experimentaría alguien en la terraza de un edificio tan alto como para tocar la estación espacial internacional, a unos 420 kilometros de la superficie terrestre. Para esto utilizamos la ley universal de la gravitación para la fuerza, , entre dos objetos separados una distancia (para esferas esta distancia se mide desde el centro de la esfera), y masas y ,

con la constante universal de la gravitación. Lo que llamamos aceleración de la gravedad, , es simplemente la aceleración, . causada por esta fuerza según la segunda ley de Newton , con la masa de la Tierra, es decir:

Así sobre la superficie terrestre, , ésta es aproximadamente , que es la aceleración que experimenta todo cuerpo (en el vació) estando en la Tierra. Para una persona parada en nuestro edificio de 420 kilometros de altura, , esta aceleración en cambio es de

que en efecto es más pequeña pero que no explica que las cosas estén flotando. De hecho es aun mayor que la aceleración gravitacional que se experimenta en la superficie lunar que es alrededor de un sexto de la terrestre, , y bien sabemos que en la Luna las cosas caen, y suficientemente rápido como para percibirlo, como podemos ver en este video rodado por la misión Apolo 15. Vemos, entonces, que esto no explica que los astronautas de la estación internacional estén paseándose por ahí como si nada los estuviera atrayendo gravitacionalmente.

En caída libre

Para entender los astronautas flotando debemos recordar algo que ya mencioné en una publicación anterior, a decir que los sistemas acelerados son equivalentes a sistemas en un campo gravitatorio, o lo que se conoce como principio de equivalencia. Para entender mejor esto les recomiendo que jueguen un poco con este complemento interactivo de MinuteLab.io donde se aprecia la igualdad de ambas situaciones. Esto implica por ejemplo que, si vamos en un ascensor al cual se le cortan las cuerdas y comienza a caer libremente experimentaremos cómo nuestro cuerpo pierde completamente su peso y comenzamos a flotar. Bueno esto mientras dura la caída. Este efecto es el que utilizan los astronautas para entrenar estando en tierra. Suben en un avión que una vez estando arriba, se deja caer en caída libre, de tal forma  dentro del avión se experimenta cero gravedad.

Pero estando en órbita ¿la Bullock yo estamos en caída libre? ¡Sí!. Los astronautas, como los satélites artificiales y la Luna, orbitando la Tierra, están en caída libre. Sin embargo, su velocidad en la dirección tangencial, o sea en la dirección que rodea la Tierra, es tan grande que su trayectoria de caída no alcanza a tocar el suelo sino que se cierra en sí misma. Esto fue lo que comprendió Newton cuando supo que tanto la Luna como una manzana estaban interactuando con la Tierra del mismo modo. Así explicó que la primera no se cayera utilizando el experimento mental que hoy conocemos como cañón de Newton y que este video muestra de forma clara.

Como vemos estar en caída libre no es dramático para nuestra cita, sino, más bien, lo que le pone el toque especial.

Aceleración centrípeta y la órbita de la estación espacial

¿Entonces la estación espacial no está quietita en el espacio? ¡No! Este es el punto donde podemos descubrir que la película Gravity pareciera tener un error recurrente en su trama, o, por lo menos, algo que es difícil de justificar. Ya que el movimiento de la estación espacial es, aproximadamente. circular, tenemos que es un movimiento acelerado, de hecho ya dijimos que está en caída libre. La aceleración que experimenta un objeto en una trayectoria circular se denomina aceleración centrípeta que se expresa de la forma , donde es la velocidad tangencial y el radio de giro. Así, utilizando nuevamente la segunda ley de Newton, , tenemos que en el lado izquierdo aparece la fuerza gravitacional, mientras en el derecho la masa del cuerpo girando y la aceleración centrípeta. Con esto y conociendo el radio de giro, que coincide con la distancia al centro de la Tierra, podemos por ejemplo calcular la velocidad tangencial de la Luna, teniendo en cuenta que la distancia entre el centro de la Tierra y la Luna es de unos 390 mil kilómetros,

Así podemos predecir los 28 días de periodo de la Luna alrededor de la Tierra, ya que debe recorrer los casi 2.5 millones de kilómetros de su órbita ( 390 mil kilometros). Lo mismo podemos hacer para la estación espacial internacional con

¡WOW unas 27 veces más rápido que un avión comercial en velocidad de crucero! ¡Sí que vamos rápido en nuestra primera cita con Sandra!, aunque no lo notamos pues no hay puntos de referencia ni aire que se oponga a nuestro movimiento en el espacio. Con esta velocidad tenemos que la Estación espacial da una vuelta a la Tierra cada 93 minutos. Todo esto lo podemos comprobar en la página oficial de la Estación Internacional, e incluso podemos vivirlo en vivo, donde apreciamos que efectivamente Sandra nos puede invitar a ver el amanecer y el atardecer cada hora y media. Romántico, ¿no?

Vale pero ¿cómo termina nuestra cita?

En algún momento, luego del primer encuentro con los restos de los satélites y que parecen haber ya hecho todo el daño posible, nos dicen que debemos tener en mente que los restos volverán en unos 92 minutos. Esto lo deducen de los informes desde tierra que dicen que los restos viajan a una velocidad de treinta mil kilómetros por hora, , muy similar a la que encontramos para la estación espacial.  Así la Bullock pone la alarma de su reloj para una hora y media de tal forma que pueden tener un pre aviso.

Reloj con alarma para 90 minutos de que da aviso de la próxima llega de los restos.

Si entendemos cómo obtener el tiempo que le toma a la estación espacial dar una vuelta a la Tierra, es claro que este debe ser más o menos el tiempo que le tomará a los restos dar una vuelta también. Pues están a la misma altura y con una velocidad similar. Pero, este es el tiempo que le tomará a los restos volver al punto donde nos encontraron la primera vez, NO el tiempo que les tomará alcanzarnos nuevamente, pues como entendimos nosotros también estamos moviéndonos. Dicho de otro modo, si nos estamos moviendo en el mismo plano de los restos puede decirse que para nosotros estos no se mueven, pues vamos a la misma velocidad. Como vemos los otros autos en la misma dirección en la autopista, a pesar que ambos vamos a gran velocidad.

Podríamos pensar que la velocidad es en cambio relativa, o sea que ambos están efectivamente moviéndose y que el dato que nos dan desde tierra se refiere a la velocidad que los restos tienen con respecto a nosotros, de tal forma que nos alcanzarán nuevamente luego de hora y media. Pero para que este sea el caso, o bien lo restos no están girando y por tanto están cayendo verticalmente hacia la Tierra, o, suponiendo que estamos en el mismo plano de movimiento, los restos se estarían moviendo con respecto a la Tierra una rapidez de 60 mil kilometros por ahora de tal forma que nosotros los veamos conrapidez de 30 mil kilómetro por hora. En este segundo caso, sin embargo, la velocidad de los restos sería mayor a la velocidad de escape (la velocidad mínima para que la bola del cañón de Newton logre escapar definitivamente de la atracción de la Tierra) a la altura de la Estación Internacional, que es de apenas de 40 mil kilometro por hora. Así que de cualquier modo no nos encontraríamos de nuevo con ellos. y por tanto igual no regresan pues se perderían en el espacio exterior.

De todos modos no crean que pude salvar tan fácilmente mi cita con Sandra. En realidad la órbita que nosotros llevamos no tiene necesariamente que estar en el mismo plano de la órbita de los restos espaciales, como lo he supuesto hasta el momento. ¡En tal caso ambos podemos estar moviéndonos con velocidad de 30 mil kilómetros por hora y a la misma altura! Pero nos encontraríamos con los restos cada vez que diéramos media vuelta a la Tierra, o sea 46 minutos y no 92 como en la película. Lo que le da, incluso, más dramatismo a nuestra cita que, en todo caso no tenía futuro (somos muy distintos Sandra y yo).

Las órbitas de los satélites pueden estar en cualquier plano. Así, aun si tienen el mismo radio, sólo se encuentran en dos puntos.

Con lo anterior, pareciera que los siguientes encuentros con los desperdicios espaciales, que arruinarían definitivamente nuestra cita, ocurren de manera distinta a cómo lo muestra la película. Ahora, en realidad las órbitas no son circulares sino elipses que, para nuestro caso, tendrían uno de los focos en el centro de la Tierra. Para la Estación Internacional la órbita es apróximadamente un círculo, pero no podemos suponer lo mismo para los restos del satélite. De tal manera que aun estando en el mismo plano nos podríamos encontrar sólo una vez cada vuelta. Algo parecido a lo que sucede con los cometas y la Tierra. Por ejemplo el cometa Hartley tiene una órbita que coincide, casi, con la de la Tierra en un sólo punto, y nos visita cada seis años y medio (ver por ejemplo los anuncios de su última visita en el 2010 en ScienceBlog).

Órbitas de la Tierra (Earth) y el cometa Hartley. Tomadas del blog científico ScienceBlog

Notemos, sin embargo, que la visita del Hartley no ocurre cada que la Tierra da una vuelta, o sea un año. Lo que implica que para la situación de nuestra cita en órbita encontrarnos con la basura espacial cada 92 minútos es una coincidencia bastante improbable, necesitando órbitas increiblemente similares. Aunque esto no es imposible, más si de dañar una cita se trata, y aún más si tenemos en cuenta lo cochino que estamos dejando el espacio.

Basura espacial acumulada durante sólo las última decenas de años.

Como sea la película sigue siendo un gran intento por hacernos viajar más allá de los límites a los que estamos acostumbrados, que es precisamente lo que hace la ciencia. Por lo que no me extrañaría que en unos años uno que otro científico o ingeniero, ojalá mujeres, haya llegado a la ciencia gracias a Gravity, como seguramente lo hiciera en su momento, aunque sin comparación, «2001: Odisea del espacio» de Stanley Kubrick, y como lo está haciendo «Interestelar» de Christopher Nolan que acompañado del astrofísico Kip Thorne han hecho una peli que además de impactante está muy ceñida a lo que hoy conocemos del cosmos.

Bien, espero que además de disfrutar la peli tanto como yo con esta entrada comiencen  a verla desde otro punto de vista… la de la Física. Nos estamos leyendo.

P.D. A propósito, ¿qué tal este curso de física universitaria del profesor Andrew Cohen?

¡Al infinito y más allá!

La semana pasada tuve la oportunidad de compartir con jóvenes de un par de colegios de Tunja y también de la Escuela de Física de la UPTC en una charla que me implicó bastante trabajo de preparación. Sobre todo porque quería que fuera suficientemente dinámica e impactante cómo para dejar alguna emoción que no fuera aburrimiento. El trabajo fue tan dispendioso que no vale la pena que se quede en la charla, así que hice algunas copias de la presentación, que repartí al final del evento. Sin embargo las copias no fueron suficientes y entre más gente la aproveche mejor, así que la he dejado de acceso libre para que cualquier persona con conexión a Internet pueda disfrutarla, esperando eso sí cualquier inquietud, comentario o consejo.

Debo aclarar que por efectos de estética y también por falta de tiempo en la preparación no he colocado las fuentes originales de las figuras y fotografías que aparecen allí, las cuales son todas ajenas a mi creación y obtenidas navegando en la internet. Yo sólo las he organizado para darles un sentido y unir ideas. Sobre la música de fondo tampoco poseo derechos de autor. Se trata de las “Variaciones para cuerdas vientos y teclados” de Steve Reich, uno de mis compositores favoritos, interpretada por la sinfónica de San Francisco dirigida por Edo de Waart.

Bueno sin más preámbulos acá la presentación Prezi, con la que además de poder navegar pueden jugar haciendo zoom en las imágenes y partes del cuadro. Espero la disfruten. (Para comenzar pulsar sobre la imagen)

La idea de estas presentación nació hace más de un año cuando visité por primera vez el sitio web ESCALA donde se puede explorar e interactuar con infografía del contenido conocido de nuestro universo, desde lo más pequeño a lo más grande. La idea cuando se fue construyendo tomó forma a algo más parecido al viaje personal que nos embarcamos varios de nosotros hace unos treinta años junto con Carl Sagan en la serie de televisión y el libro Cosmos. Sin embargo, en la presentación abordé temas que no están en Cosmos. En particular preguntas relacionadas con la gravedad cuántica, que con las herramientas aprendidas por parte de la teoría de supercuerdas han tomado un matiz menos místico.

Los dos puntos que quise enfatizar en la charla fueron: a pesar que la humanidad es un conjunto de seres insignificantes en parámetros cosmológicos hemos logrado, gracias a nuestra curiosidad, creatividad y ganas de conocer y explorar, comprender el universo casi hasta los límites de la observación. Y nos hemos atrevido a imaginarnos algo más grande que el universo, el multiverso. La segunda idea es el hecho que hoy más que nunca antes el conocimiento de lo muy grande implica una comprensión profunda de lo muy pequeño. En particular, cuando exploramos lo muy pequeño, con ayuda de la teoría de supercuerdas, volvemos a encontrarnos con el multiverso, como si se encontrara justo en los dos extremos de lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño.

Nuevamente espero lo disfruten tanto como yo construyéndola,

nos estamos leyendo,

Diego

P.D. No puedo dejar de mencionar un detalle de la charla de ayer. Al comenzar la charla pregunté a los asistentes qué era lo más pequeño y lo más grande que habían visto, imaginado, o escuchado mencionar. En la primera fila estaban un par de abuelos, de alrededor de 70 años de edad y con apariencia más bien humilde. El abuelo con emoción buscó la respuesta a la primera y respondió “las partículas constituyentes”. Esa respuesta me emocionó pero la que me dejó boquiabierto fue la de lo más grande. Esa la pensó un poco más para al final responder “LA VIDA” ¡WOW! Ojala todos tuviéramos los ojos de este abuelo.

P.P.D. En algún aparte de la charla pregunté a los asistentes si habían visto la Vía Láctea alguna noche. No recuerdo que alguno haya respondido que sí e incluso algunos dudaron que se pudiera. En ese momento confirmé lo afortunado que soy de vivir fuera y lejos de la ciudad. Donde como techo tengo el espectáculo más magnífico que pueda imaginar.

P.P.P.D Les dejo además un serie de videos que hubiera deseado acompañaran la charla pero que por cuestiones de tiempo no era posible

Este corto ya es un clásico del cual se han hecho un par de remakes, pero sigue siendo el referente

Con un poco más de infografía científica precisa

Cómo de hecho sabemos cuan grande es el universo

Una comparación entre estrellas, que es ni de cerca lo más grande que hay, para notar lo pequeños que somos

Donde se muestra lo que somos capaces de inventarnos cuando de de ver lo muy pequeño se trata.

Mover átomos uno por uno no sólo puede tener aplicaciones prácticas, también producir esto. Cada punto es un átomo

El principio de incertidumbre que hace que el mundo microscópico sea tan loco que aun nos cuesta trabajo entenderlo

Bueno pero ¿qué tan grande es un átomo?

Una rápida visita al CERN (Centro Europeo para la Investigación Nuclear)

Pero tengan cuidado cuando vayan de tour por el CERN y visiten el Gran Colisionador de Hadrones, les puede ocurrir esto

Un bonito resumen del estado actual de la Física de interacciones fundamentales que incluye el paradigma de la materia oscura hasta la teoría de cuerdas

El video ganador de un concurso, propuesto por Brian Greene, para explicar la teoría de cuerdas en pocos minutos

Avatares de un Super Sayajin relativista: horizontes de eventos.

Como buen niño citadino crecí en gran parte influenciado por la televisión. Afortunadamente contaba en esa época con progamas que recuerdo con mucha nostalgía y que difícilmente hoy tienen algún paragón en la televisión privada. Unos ejemplos son matemáticas 1,2,3 con Nico y Tap, y Ciencias para Niños, que fueron parte de mis primeros pinitos con las matemáticas y los experimentos en casa.  Apenas recuerdo cuantos juguetes hice, muchos un fracaso absoluto, reproduciendo los hechos por los hermanos Pico, Kika y su amigo Taro, que era el más pilo. Como las mariposas levitantes  con imanes y los cohetes con rollos de papel higiénico y bandas elásticas. Hoy me esfuerzo por recordar estos programas para jugar con mis hijos y divertirnos de otra forma.

Claro que también recuerdo con cariño a Bugs Bunny y sus amigos de la Warner Bross, en particular al Coyote. Creo que todos los que hemos visto al Coyote en acción decimos «uff claro, a mí también se me habia ocurrido algo parecido», y luego también nos preguntamos «¿De donde saca el dinero?». El pensamiento final siempre es «rayos otra vez se escapó». Bueno en realidad yo siempre pensaba «¡INTÉNTELO DE NUEVO!» porque muchas veces estaba tan cerquita de lograrlo que era una pena que no corrigiera sus cálculos y errores.

Aveces también quedaba en duda sobre qué tanto de lo que aparecía podía ser posible…  y en estos royos aún ando cada vez que veo un dibujo animado.

Sin embargo, al igual que muchos de mis contemporáneos, el clímax y era dorada de los dibujos animados comenzó con la llegada masiva del anime a Colombia. Tal vez comenzando con Super campeones (Capitan Tsubasa), pasando por Caballeros de Zodiaco, series épicas e inspiradoras como mi favorita Samurai X (Rouruni Kenshin), o la completamente fuera de juicio Ranma 1/2 y varias otras que pasan y pasaron por la televisión latinoamericana. Pero la verdadera leyenda es, sin lugar a dudas, Dragon Ball, con sus secuelas Dragon Ball Z y GT. Aun hoy es difícil encontrar alguien, menor de 35 años,  que no conozca varios detalles de la serie, y eso la hace un lenguaje casi universal que me ha permitido divertirme con algunos ejemplos y ejercicios en las clases de Física que dirijo.

Este semestre, unas semanas antes un parcial, los estudiantes de la electiva en cuántica relativista se quejaron porque a ellos nos les proponia ejercicios con Goku… así que en el siguiente parcial él fue el protagonista. En una situación que ahora trataré de exponer brevemente, aprovechando la oportunidad para, por primera vez en el blog, formalizar un poco las ideas.

En algún momento de la historia de Dragón Ball Z, Goku decide viajar al planeta Namek (Namekusei), donde su hijo Gohan y su amigo Krilin luchan contra las poderosas fuerzas especiales de Freezer. Goku comprendiendo lo poderosos que son sus contrincantes que decide realizar un fuerte entrenamiento en el trayecto. Para esto, le pide al diseñador de la nave que esta posea un dispositivo para controlar la gravedad experimentada dentro de la nave. En este punto el científico-ingeniero, papá de Bulma, exagera un poco en cuanto a su magnifica invención. Para entender esto basta recordar que los sistemas acelerados son equivalentes a sistemas bajo un campo gravitatorio, como lo hemos experimentado montados en un carro cuando este arranca o frena, o cuando el ascensor arranca. Así, si el ascensor comienza a bajar, una balanza de precisión medirá un peso inferior al que mide en reposo, y si comienza a subir el peso por el contrario será superior. Este es un juego que propongo en clases de Física I para los/las estudiantes que quieran perder o ganar un poco de peso (con la decepción que los kilito, masa, por el contrario siguen siendo los mismos). Entonces, lo único que tiene que hacer la nave en la que viaja Goku para que este experimente una gravedad es acelerar. Este truco, por ejemplo, lo utilizan en la Estación Espacial Internacional para simular las condiciones en la Tierra y evitar problemas fisiológicos en los habitantes temporales.

Goku, siempre radical, decide entrenar casi inmediatamente con una gravedad cien veces la de la Tierra, 100 g.

C-vectores y líneas de mundo

Vamos a describir el viaje de Goku desde el sistema de referencia inercial Tierra. En efecto, como veremos, el movimiento circular de la Tierra es realmente despreciable para un movimiento con aceleración como la de Goku.

Lo primero que debe quedar claro es la necesidad de utilizar relatividad especial y no mecánica newtoniana en el análisis. Para esto consideramos que el viaje de Goku dura al menos unos días, de tal forma que acelerando a 100 g= en un sólo día Goku, según cinemática galileana, clásica, alcanzaría la asombrosa rapidez de , que es aproximadamente la tercera parte de la velocidad de la luz en el vació y que usualmente denotamos como  c. O sea que en tres días, con esta aceleración constante, Goku viajaría a la velocidad de la luz, y al cuarto tendríamos, además de un Super Sayajin, un Sayajin Superlumínico, como nos referimos los físicos a objetos que viajen más rápido que la luz en el vacío. Vemos, entonces, que se trata de un movimiento con velocidades próximas a las de la luz, y que por tanto para poder extraer conclusiones precisas debemos utilizar relatividad de Einstein. En particular el análisis clásico entrega un resultado que entra en contradicción con la velocidad de la luz en el vacío como una velocidad límite.

En relatividad, la simetría entre el espacio y el tiempo hace que sea más conveniente trabajar con vectores que contengan esta información de forma conjunta, lo que llamamos coordenadas espacio temporales. Los objetos que contienen esta información son lo que se denomina cuadri-vectores, o c-vectores para abreviar, cuyas componentes están dadas por

Para nuestro caso consideraremos el movimiento de Goku en una línea recta, que supondremos el eje x, luego nos bastará con c-vectores de dos componentes . Las coordenadas espacio-temporales de Goku van cambiado en el tiempo y pueden ser descritas como funciones de un parámetro arbitrario. En mecánica clásica este parámetro usualmente es el tiempo. Sin embargo, dado el valor relativo del tiempo para cada observador, es conveniente trabajar con un tiempo particular, el cual tome el mismo valor para todo observador o, en otras palabras, que sea un invariante relativista. Este tiempo es el tiempo propio, , o tiempo medido por un reloj que viaja con Goku. Con este se define la c-velocidad, U, y la c-aceleración, A,

que satisfacen las mismas reglas de transformación entre sistemas de referencia inerciales, transformaciones de Lorentz, que cumplen los , o sea también son c-vectores, y aunque sus componentes no coinciden con las velocidades y aceleraciones físicas que medimos en el laboratorio contienen esta información de forma indirecta. En particular la velocidad, , está relacionada con las componentes espaciales de la c-velocidad por

donde , es el famoso factor de dilatación de Lorentz. La c-velocidad y c-aceleración además cumplen las siguientes relaciones:

con c la velocidad de la luz (otro invariante relativista) y  a la aceleración propia del viajero, o sea la aceleración que mide en su nave, que para nuestro caso es 100g. El punto indica el producto punto usual entre vectores. De la definición de estas cantidades, se tiene que las anteriores son un conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales que tiene por solución (en este enlace encuentran un archivo Mathematica con los detalles de este y otros análisis)

donde se han impuesto las condiciones iniciales tales que Goku parte de la Tierra, posición cero, con velocidad inicial nula.

Con la solución encontrada podemos entonces, por ejemplo, graficar cómo va a ser la trayectoria de Goku vista desde la Tierra, o sea, cómo son sus coordenadas espacio temporales durante su viaje, en lo que se denomina diagrama de Minkowki. La gráfica animada en el tiempo deja claro cómo evolucionan en el tiempo -medido por la Tierra- las coordenadas temporales (eje horizontal) y su posición (eje vertical) formando la llamada línea de mundo o línea de universo .

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de una señal de luz (rojo punteado).

Además se han graficado las líneas de mundo de dos señales de luz (línea roja punteada) que salen simultáneamente con Goku, una de estas en dirección opuesta, formando lo que se denomina el cono de luz futuro del evento en que Goku arrancó. La línea roja que corre superpuesta al eje horizontal es la línea de mundo de la Tierra, donde viaja Milk, la esposa de Goku, cuya única coordenada que evoluciona es la temporal. El hecho que la trayectoria de Goku esté dentro del cono de luz está relacionado con el hecho que no es posible viajar, ni enviar información, a velocidades superiores a la de la luz en el vacío.

En este punto podemos notar que el tiempo que mide Goku, , no coincide con el tiempo medido en la Tierra, t, que es el mismo que miden en Namek si consideramos que los planetas están quietos unos con respecto al otro. Esto conduce a que Goku envejece en forma más lenta que los demás, como en la paradoja de los gemelos, pero que no discutiré directamente acá. O sea me centraré en el viaje de ida de Goku, pues el de regreso no sé cómo plantearlo por la dificultades que tengo en formalizar la técnica de teletransportación que Goku utiliza para salir de Namek.

Llamadas espaciales

Esta diferencia de flujo del tiempo, tal vez el resultado más famoso de la relatividad especial y general, puede generarle problemas a Goku en la casa. Por ejemplo supongamos que Milk y Goku quedan en enviarse un saludo, un mensaje de texto digamos, cada día a la media noche en punto. Pero por lo que vemos cuando para Goku es media noche,  , para ella en la Tierra ya ha pasado. Esta diferencia es para el primer saludo es de  20 minutos (como puede verificarse con la relación entre  y t en la solución encontrada), o sea t=12:20 am, algo que seguro no le gustaría a Milk. Como si esto no fuera suficiente, debemos tener también en cuenta que los mensaje no llegan instantáneamente, debido a la separación espacial entre ellos y la velocidad finita de los mensajes, que supondremos viajan a la velocidad de la luz, así que hay otro retraso en el mensaje de Goku. Para evaluar este tiempo de viaje del mensaje determinamos la posición, coordenada x, de Goku cuando su reloj indica la media noche. El resultado es aproximadamente de  0.15 días luz, y nos indica que al mensaje de Goku le tomará, desde ese punto, llegar a la Tierra 0.15 días, aproximadamente  cuatro horas, lo que de seguro enfurecería a la peligrosa Milk que no entiende de telecomunicaciones. La siguiente figura muestra los eventos en el tiempo cuando Goku envía sus saludos y cuando estos llegan a la Tierra, evidenciando el retraso apenas discutido.

Línea de mundo de Goku (azul), de la Tierra (rojo) y de las señales de luz enviadas cada días por Goku (rojo punteado). Hacer click en caso que la animación no se presente.

Para visualizar mejor donde está Goku utilizamos unidades astronómicas, que es la distancia del Sol a la Tierra. Luego de un día se tiene que Goku está a 25 ua, un poco más acá de Neptuno a unos 30 ua del Sol. A la media noche del segundo día, de Goku se encontrará a unos 100 ua, próximo a abandonar el sistema solar y a alcanzar a la nave Viajero II, hoy en día a 102 ua de la Tierra. Esto también nos da una idea de lo inverosímil que es la máquina y el viaje de Goku, pues a la nave viajero le tomó 36 años llegar allí a una velocidad aproximada de 60 mil kilómetros por hora.

Como puede demostrarse directamente de la expresión para las coordenadas espaciales la línea de mundo de Goku forma una hiperbola en el diagrama de Minkowski, con asíntota una recta paralela al cono de luz, lo que indica que Goku alcanza asintoticamente (en t infinito) la velocidad de la luz. La siguiente gráfica muestra las líneas de mundo para viajeros con distintas aceleraciones, partiendo del infinito acercándose inicialmente a la velocidad de la luz llegando a la Tierra con velocidad cero y continuando su aceleración regresando a infinito, nuevamente con rapidez la velocidad de la luz.

Líneas de mundo para viajeros acelerados partiendo en infinito llegando al origen , la TIerra, con velocidad nula, y continuando su aceleración a=g/5 (nogro), a=g/2 (azul), a=g (verde), a=2 g (amarillo) y a=5 g (naranja). El cono de luz en rojo.

Todas tienen asíntotas paralelas al cono de luz, pero para aceleraciones mayores estas se van acercando al cono como es de esperarse pues adquieren velocidades mayores más rápidamente.

Horizontes de eventos

El hecho que Goku alcance asintóticamente la velocidad de la luz y la imposibilidad de enviar señales a velocidades superiores genera un fenómeno bastante interesante:

Si analizamos la situación de los mensajes que recibe Goku tenemos que él, con un cálculo rápido, pensaría en un principio que los saludos de  Milk van a ser cada vez más frecuentes por la diferencia de flujo de tiempos, sin permitirle entrenar como él quisiera. Sin embargo, si además se tiene en cuenta el retraso de la señal, debido a la distancia que este tiene que recorrer, la situación es muy distinta. En efecto, el hecho que Goku se esté alejando cada vez más rápido, y a velocidades cercanas a la de la luz, hace que a las señales cada vez les tome más tiempo alcanzar a Goku e incluso existe un punto donde cualquier señal enviada desde la Tierra no alcanzará a Goku que prácticamente se está moviendo a la velocidad de la luz. En forma más precisa, cualquier señal que sea enviada a la derecha de la asíntota no alcanzará a Goku pues tendría que viajar más rápido que la luz. A la derecha de la asintota se refiere a tiempos posteriores al punto donde esta corta el eje horizontal, que para una aceleración a está dado por c/a (como también se estimaría por análisis dimensional para una velocidad inicial nula). Para nuestro caso, a=100 g, este tiempo es de alrededor de tres días y medio, lo que indica que el cuarto mensaje de Milk nunca llega su destino, aun si la rapidez de este siempre es superior a la de Goku (como se observa en la siguiente figura), en una situación que asemeja la segunda paradoja de Zenón de Elea hermosamente descrita por Jorge Luis Borges en su escrito Los avatares de la tortuga. 

Linea de mundo de Goku (azul) y la Tierra (rojo), y las señales enviadas por Chichi cada día (rojo punteado).

La situación ante la cual estamos presentes se denomina, por obvias razones, horizonte de eventos, pues sucede que Goku desconoce todo lo que pase en los puntos espacio-temporales a la derecha de su asíntota, ya que, al igual que el cuarto mensaje de Milk, cualquier mensaje que se envíe desde esta zona nunca alcanzará a Goku. Sin embargo, no está desconectado causalmente de estos, pues él sí puede continuar enviando mensajes hacia el exterior y afectar el futuro de estos, por ejemplo con un buen chiste los hará reír.

Una de las consecuencias más impactantes, pero no tan conocidas, de la presencia de horizontes de eventos es el llamado efecto Unrhu que relaciona la teoría de campos vista por dos observadores, uno acelerado y el otro inercial. Este efecto indica, que al contrario de los observadores en la Tierra, Goku verá el universo vacío con una temperatura no nula, lo que los físicos llamamos baño térmico, detectando una radiación. Este efecto muestra una vez más cómo un vacío cuántico es muy distinto a la nada a la que usualmente estamos acostumbrados, e incluso la definición de vacío depende del observador.

El sistema físico más famoso que presenta un horizonte de eventos es un agujero negro. Aunque en este contexto su aparición se explica de otra manera las implicaciones en general son las mismas: las señales de un viajero más allá del horizonte de eventos del agujero negro no pueden cruzarlo a menos que viajen más rápido que la luz. En otras palabras la luz no escapa de este horizonte y por esto no podemos ver el agujero, ni a nuestro amigo que va rumbo a la desgracia.

En este caso el efecto Unruh también se presenta para nosotros, afuera del horizonte de eventos, lo que permite entender en primera instancia el efecto cuántico conocido como radiación de Hawking, descubierta por Stephen Hawking a finales de los setenta, mostrando cómo los agujeros negros se evaporan emitiendo radiación térmica. La radiación Hawking y sus posteriores paradojas condujeron  a uno de los descubrimientos más impactantes de la física en toda su historia, la correspondencia gravedad/teoría de gauge, pero esta no es la publicación para hablar de la radiación Hawking ni de la correspondencia (un abrebocas acá).

Otro sistema donde se presenta un horizonte de evento es en el universo mismo. A finales de la década de los noventas se encontró que nuestro universo no sólo se está expandiendo sino que lo hace aceleradamente (un poco sobre esto y el modelo ΛCDM acá). Esto implica que cada observador tiene un horizonte de eventos y para este parte del universo está continuamente desapareciendo, cuando las galaxias, que se están alejando de él, cruzan este horizonte. Es por esto que comúnmente se habla del universo como un agujero negro invertido.

Aún más

Espero la explicación del horizonte de Goku haya sido lo suficientemente clara para que algún lector ya se haya percatado que no es totalmente cierto lo que expliqué sobre las señales de Milk. En efecto si suponemos que ella continua enviando sus mensajes, sin importar que Goku cada vez se retrase más con los suyos y no responda las preguntas que esta le hace en los suyos, estos mensajes continuarán viajando persiguiendo a Goku. Cuando este llega a Namek debe frenar y en algún momento su velocidad es nula, pues suponemos que Namek está a una distancia fija a la Tierra. En este punto de frenado la línea de mundo de Goku cruza el horizonte que tenia mientras aceleraba y los mensajes comienzan a llegar uno tras otro, así que Goku no se pierde ninguna de las noticias de la Tierra.

Existen gran cantidad de detalles que podemos analizar en el marco de la relatividad especial. Por ejemplo determinar cuanto tiempo, para los amigos de Goku, demoró en llegar a Namek, si para Goku pasó una semana de viaje y entrenamiento. También, sabiendo la duración del viaje, podemos determinar cuanto combustible necesita la nave, si suponemos que esta es de máxima eficiencia, lo que se conoce como naves fotónicas, o similarmente calcular cuanto peso pierde nuestro legendario Super Sayajin cada vez que realiza un Kame Hame Ha, pero mejor dejarlas para otros parciales.

Bibliografía.

[1] Sobre la teoría especial de la relatividad, J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2005.

[2] Relatividad especial [problemas selectos], J. M. Tejeiro, Facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2009.

[3] Classical Electrodynamics, J. D. Jackson,  John Wiley & Son, 1998.

[3] An Introduction to Black Holes, Information And The String Theory Revolution: The Holographic Universe, L. Susskind & J. Lindesay, World Scientific Pub Co Inc, 2004.

Agradecimientos:

Me complace agradecer las juiciosas revisiones, correcciones y comentarios de Catalina Reyes-Suarez y Wilson Gamboa. También los comentarios de Ludving Marenco y Fabian Medina.

Feynman, un niño en la Física

Conmemorar los aniversarios de muerte de una persona es ciertamente algo extraño para nuestra sociedad occidental, pero seguramente es una costumbre alimentada principalmente por el hecho que hasta el siglo pasado era muy común desconocer la fecha de nacimiento de cualquier personaje, incluso de uno mismo, o por lo menos saberla con certeza y la de muerte era grabada por la sociedad sólo si esta persona tenía cierto nivel de fama. Así durante el año es más común recordar muertes que nacimientos de personajes famosos.

Aunque quisiera salirme de este esquema y recordar a uno de los papás de la ciencia moderna, Galileo Galilei, cuyo aniversario de nacimiento la naturaleza recordó de una manera dramática con la caída de fragmentos de meteorito en la zona de los Urales en Rusia, por falta de tiempo y medios me apego a lo hecho por la gran mayoría y recordaré al genial Richard Feynman fallecido justo 424 años luego del nacimiento de Galileo como consecuencia de un cáncer.

Richard Feynman es, dudándolo muy poco,  el personaje más inspirador en la física del siglo pasado. Incluso más que Einstein que siempre cargó encima un estigma de supergenio que necesariamente conllevó a cierto aislamiento. Feynman, por otro lado, siempre se mostró como un niño divertido y preguntón, inquieto, que no ocultaba su pasión por la naturaleza y quien tomaba con felicidad cada reto que esta le mostraba. Eso lo hacía el científico por excelencia y estoy seguro que,  aun más que envidiar sus conocimientos, la mayoría de sus colegas envidiaban la forma como se divertía haciendo lo que los demás también logrando lo que otros no. Era un sujeto que vivió al máximo también tristezas tan grandes como la de su primer matrimonio con una mujer a la cual sabia que no podía siquiera besar por la enfermedad que la acosaba, y quién muriera poco tiempo después del casamiento durante el periodo del proyecto Manhattan.

Aunque se creería que su mayor particularidad estando en el mundo científico formal moderno era que pintaba, tocaba bongoes, con los cuales logró incluso participar en un musical, o que admitía ser asiduo cliente de lugares de Strep-Tease, donde además recibía a sus invitados al Caltech, para mí lo que más lo hacia raro era que tenía la mente de un niño y así mismo se expresaba cuando hablaba de su trabajo, como en particular se evidencia en El placer de descubrir, en video o libro. A mi personalmente cada vez que lo escucho o leo quedo en un estado excitado y comprendo que si por alguna razón hay algo de la naturaleza que me paree aburrido es porque no la he comprendido bien.

Esa pasión lo hizo también famoso como maestro, porque sabia compartir lo que encontraba. Así fue como en algún momento el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, el mismo donde estaría Einstein y muchas de las grandes mentes del siglo pasado, le ofreciera una posición permanente con todos los beneficios para investigar y él la rechazará argumentando que no tendría allí estudiantes. Por internet se puede ver la serie de charlas en la Universidad de Cornell que evidencia su habilidad en el tablero. Algunas de estas se puede conseguir en youtube pero recientemente Microsoft en el proyecto Tuva montó los videos con la posibilidad de tomar apuntes sincronizados con el video, y así mismo seguir otros hechos por expertos. Lamentablemente no funcionan en mi Google Chrome, seguro en Explorer y no sé si en Firefox. La energía que Feynman desplegaba en el «escenario» sólo la he podido comparar con la de una reciente figura ya famosa la física teórica. Me refiero a Nima Arkani-Hamed, uno de los merecedores al premio Milner del año pasado, y que he tenido el placer de ver «actuando» en persona un par veces. Pueden ver presentaciones de él en una charla en la Universidad de Cornell precisamente invitado a la misma serie de coloquios que Feynman dictara décadas atrás. También en las Salam Lectures iniciadas el año pasado por el Abdus Salam ICTP. El tipo es ciertamente un rock-star de la Física contemporánea, no sólo por su fama sino por su show.

El nombre del proyecto Tuva es inspirado en mi documental favorito sobre Feynman, La última travesia de un genio. Este relata cómo desde niño Feynman estuvo intrigado por un pequeñísimo país en medio de la gran Unión Soviética  del cuál nadie sabia nada. Dedicó su vida a encontrar detalles sobre este minúsculo país y se decidió a vivirlo personalmente, misión casi imposible dadas las características geopolíticas de Tuva. A pesar de las dificultades su terquedad logra cosas tan grandes como invitar y organizar una exposición del museo nacional de Tuva. El documental se rueda precisamente en la época en que Feynman espera respuesta a un nuevo pedido de entrar a Tuva y nos muestra cómo él vivía de la misma forma todos los aspectos de su vida, pero que seguramente tomó el camino de la ciencia por ser el que más se acerco a saciar esa sed por conocer el cosmos.

Para terminar les comparto un homenaje divertido y otro que estará en linea sólo por un par de semanas.

Einstein & Eddinton

Seguro todo el que lea este blog conoce sobre Albert Einstein e incluso reconoce una que otra implicación de su trabajo. Menos seguro es que conozca el trabajo del astrofísico Sir Arthur Eddinton, cuyas medición de la desviación de la luz al pasar cerca al sol establece la efectividad de la Teoría General de la Relatividad de Einstein y de paso da el trampolín definitivo a Einstein hacia la fama.

La película Einstein & Eddinton producida en el 2008 por la BBC nos cuenta un poco sobre esta historia, dramática no sólo del lado científico sino humano, al desarrollarse simultáneamente con la primera guerra mundial.

Estoy lejos de ser un conocedor de la historia, pero tengo la sensación de varias imprecisiones, primero temporales y segundo de cómo se desarrollo y estableció la teoría de Einstein. En particular siento que la contribución de los matemáticos es completamente subvalorada, y en cambio Max Planck parece tomar este papel. Hasta donde entiendo las matemática no era el fuerte de Einstein, y en cambio para poder formular su teoría eran necesarios elementos apenas conocidos en la últimas décadas del ochocientos con los trabajos de  Jonas Bolyai, Nicolas Loachevski y Bernhard Riemann sobre geometría no euclidiana. Según cuenta la «leyenda» Einstein recurrió a un matemático amigo suyo, si no estoy mal Marcel Grossman, para entender estos trabajos y finalmente comprender su conexión con el espacio-tiempo. Un poco sobre esto pueden seguirlo en el capítulo sexto del programa Una breve historia de las matemáticas del profesor Marcus du Sautoy .

En todo caso la película creo logra su objetivo principal al mostrar a estos dos hombres, en bandos culturales enemigos, trabajando conjuntamente por el interés de entender mejor en universo. Interés que, creo yo, debería ser universal.

P.D. Estudios históricos recientes indican que las mediciones de Eddinton tuvieron un bias favoreciendo las predicciones de Einstein.

P.P.D. Sobre la teoría especial de la relatividad también se especula que Einstein no dio crédito a otro matemático Hernri Poincaré .

P.P.P.D. Recomiendo también Copenhagen en un contexto similar pero con final distinto.